欧拉：有些神秘的数学真相，对于人类来说是不可触及的

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欧拉：有些神秘的数学真相，对于人类来说是不可触及的

“来自这些领域的特殊之美，抓住了那些进取之人的心。但是没有人像欧拉那样兴奋，他几乎在每一篇关于数论的文章中，都不吝表达自己的喜悦之情。这种喜悦之情，源于他做出的每一项研究，还源于他发现的某些规律在实际应用中所带来的可喜变化。”

来源 | 《悠扬的素数：二百年数学绝唱黎曼假设》

作者 | [英] 马库斯·杜·索托伊（Marcus du Sautoy）

译者 | 柏华元

01  天才的开端

在 18 世纪中叶，宫廷资助之风盛行。当时的欧洲处于大革命前夕，各个国家纷纷实行开明君主专制。实行此政策的君主分别是：柏林的腓特烈大帝，圣彼得堡的彼得大帝和凯瑟琳大帝，巴黎的路易十五和路易十六。

他们的资助促进了学术界的发展，这反过来又促进了启蒙运动时期理性主义的盛行。他们确实将其看作自己备受宫廷智囊团支持的标志。他们也深知科学和数学在提升国家军备实力和工业实力方面拥有巨大潜力。

欧拉的父亲是一位牧师，他原本希望欧拉能子承父业，在教堂工作。然而，少年欧拉过早展现出的数学天赋，引起了当权者的注意。很快，欧拉就收到了欧洲各地科学院抛来的橄榄枝。

他想要加入法国科学院，那里是当时数学研究最活跃的地方。

不过后来，他在 1726 年接受了圣彼得堡科学院发来的聘书。当时彼得大帝正在推行教育改革，以提升俄罗斯帝国的教育水平。该科学院为此提供了坚实后盾。

他还加入了来自巴塞尔的朋友组成的数学阵营，他们使高斯在幼年时就燃起了对数学的兴趣。他们在圣彼得堡写信给欧拉，问他能否从瑞士带来 15 磅咖啡、1 磅最好的绿茶、6 瓶白兰地、12 打上好的烟斗和几十包扑克牌。

欧拉带着这些礼物包裹，历时 7 周，一路上经历乘船、徒步、坐马车等舟车劳顿的经历，终于在 1727 年 5 月抵达了圣彼得堡，那个他能追求数学梦想的地方。

他随后做出的贡献是如此巨大，涉猎的范围是如此之广，以至于直到欧拉 1783 年去世后的大约 50 年里，圣彼得堡科学院还在发表其收藏在档案馆里的文件。

02  在圣彼得堡科学院的岁月

在圣彼得堡科学院度过的岁月里，欧拉身上发生过各种各样的故事。

其中一个故事可以完美地诠释宫廷数学家所扮演的角色。

凯瑟琳大帝正在招待法国著名的哲学家和无神论者丹尼斯·狄德罗。狄德罗一直仇视数学，认为它没有任何实际意义，所能做到的仅仅是在人与自然之间隔上一层面纱。凯瑟琳很快就厌烦了这个客人，不单单是因为狄德罗对数学的蔑视，更是因为他对朝臣宗教信仰的嘲弄令人恼火。

欧拉很快被召进宫，来让这个令人忍无可忍的无神论者闭嘴。出于对凯瑟琳大帝提供资助的感激，欧拉欣然前往。当着狄德罗的面，欧拉义正词严地说：“先生，(a+bn)/n=x ，因此上帝存在。为什么呢？请回答我！”据说，狄德罗面对这个数学公式，一时间不知所措，只得仓皇而逃。

这件趣事是由英国著名数学家和逻辑学家奥古斯塔斯·德摩根在 1872 年讲述的。这个故事可能是为了娱乐大众而被人添枝加叶、大肆渲染。不过，它反映了当时大多数数学家喜欢贬低哲学家的心态。

但这同时也反映出，欧洲宫廷贵族认为，他们必须将数学家与文学家、艺术家和作曲家同等视之。只有了解了数学家的世界，他们的人生才称得上完整。

凯瑟琳大帝对通过数学方法证明上帝存在并不太感兴趣。她更关注的是欧拉在液压、船舶设计和弹道上所做的研究与贡献。这位瑞士数学家的兴趣极为广泛。他不但研究数学在军事上的应用，还得到了数学与音乐有关的理论。但令人哭笑不得的是，他的这一理论，在数学家看来，过于依赖音乐知识；而在音乐家看来，又过于依赖数学知识。

他的一个众所周知的成就，就是解答了“柯尼斯堡七桥问题”。

普列戈利亚河，现在被称作普雷戈里亚河，流经柯尼斯堡，在欧拉所处的时代属于普鲁士（现在属于俄罗斯，被称作加里宁格勒）。其河流分支在小镇的中心形成了两个小岛。柯尼斯堡人为了渡河方便，修建了七座桥。

能否有人穿过小镇，而每次只经过一座桥，然后再回到原处呢？这已经成了长久困扰该镇市民的一大难题。

欧拉在 1735 年证明，这是一个不可能的任务。他的证明经常出现在拓扑学教材的开篇处。在拓扑学中，一个问题的实际物理维度无关紧要。欧拉解决该问题的关键，在于连接小镇不同部分的网络，而不在于这些不同部分的具体位置和彼此间的距离。伦敦地铁线路图的绘制就利用了这一原则。

正是那些数字使欧拉沉浸其中，不能自拔。正如高斯所写的那样：

来自这些领域的特殊之美，抓住了那些进取之人的心。但是没有人像欧拉那样兴奋，他几乎在每一篇关于数论的文章中，都不吝表达自己的喜悦之情。这种喜悦之情，源于他做出的每一项研究，还源于他发现的某些规律在实际应用中所带来的可喜变化。

03  对素数的计算情有独钟

和克里斯蒂安·哥德巴赫的通信点燃了欧拉探索数论的热情。

哥德巴赫是一位生活在莫斯科的德国业余数学家，被圣彼得堡科学院聘为行政秘书。和先前的业余数学家梅森一样，哥德巴赫也深深沉浸在数字的世界里，经常做一些与数字相关的试验。

在给欧拉的信中，他提到了自己做出的以下猜想：每一个偶数都可以写成两个素数的和。欧拉回信给哥德巴赫，让他来试验自己提出的许多证明方法，以验证费马的各种神秘发现。费马缄默不语，给世界留下了许多素数的谜团。

与之截然不同的是，欧拉乐于向哥德巴赫展示，他证明了费马的命题，即素数可以写成两个平方数之和。欧拉甚至成功地证明了一个与费马大定理相关的实例。

欧拉尽管对数学证明热情高涨，但是从本质上来说，他是一名实验型数学家。他的许多论证都带有某种数学风气，包含并不完全严格的步骤。如果这带来了有意思的新发现，他也不以为意，泰然处之。作为数学家，他计算能力超群，善于利用数学公式推导出一些稀奇古怪的数字关系。正如法国的科学家弗朗索瓦·阿拉戈所发现的那样：“欧拉运算起来毫不费力，如同人类呼吸或者鹰在风中翱翔一样。

与其他计算相比，欧拉对素数的计算情有独钟。他制作了一张最大素数可达 100000 的素数表，还做出了一些其他贡献。

在 1732 年，他还首次证明，费马提出的素数公式，即 2^2^N+1 ，在 N=5 时不是素数。利用新的理论思想，他成功地证明了如何将这个 10 位数字分解成两个更小数字的乘积。最引人注目的是，他似乎发现了一个可以生成神秘素数的公式。1772 年，欧拉将 0～39 的所有数字逐个代入公式 x^2+x+41 ，并计算出所有结果。于是他得到了以下数列：

41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281, 313, 347, 383, 421, 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853, 911, 971, 1033, 1097, 1163, 1231, 1301, 1373, 1447, 1523, 1601 。

利用这个公式能生成的素数如此之多，这似乎有点不同寻常。欧拉意识到，这一运算过程可能会在某一点被迫中断。很显然，在输入 41 时，结果就可以被 41 整除。当然，当 x=40 时，得到的已经不是一个素数了。

然而，这个公式依旧令欧拉大为惊叹。他开始研究，如果用其他数字替代 41 的话，会不会有同样的效果呢？他发现，公式 x^2+x+q ，除了 q=41 ，还可以让 q=2、3、5、11 或者 17 ，在输入从 0 到 q-2 的所有数字时，也可以输出素数。

伟大如欧拉，也无法找到一个简单如斯的公式，以生成所有素数。正如他在 1751 年所写的那样：“有些神秘的真相，对于人类来说是不可触及的。我们只需瞥一眼素数表就会明白，有些存在确实既无序又无规律可言。”这些组成遍布公式、公理的数学世界的基本元素，竟然以这样一种随意而不可测的方式存在着，着实令人不可思议。

但事实是，欧拉缺少的只是一个解开素数身上“紧箍咒”的方程。但这要等几百年后一个伟大的人物横空出世，来完成欧拉未能完成的任务。这个人就是伯恩哈德·黎曼。不过，正是由于高斯提出了经典的横向思维方法，才最终启发了黎曼从新的视角探索素数。

原创  索托伊  图灵新知  2025 年 06 月 12 日 16:58  北京