哥廷根“神话”：缔造数学与物理的黄金时代

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哥廷根“神话”：缔造数学与物理的黄金时代

原创  关注全球科研的  科学方程式  2025 年 06 月 13 日 15:35  北京

在德国中部广袤的绿原上，有一座人才辈出的“大学城”——哥廷根。18 世纪末，其尚是地图上不起眼的坐标，却在百年间，以其大学为轴心，孕育了科学史上最辉煌的学术共同体——哥廷根学派。

学派的崛起绝非地理偶然。18 世纪末的德意志正处于启蒙思想与民族意识觉醒的交织期，普鲁士的教育改革强调“研究型大学”的理念，主张将教学与科研深度结合。哥廷根大学抓住这一契机，打破传统经院哲学的桎梏，在 1797 年建立了德国首个自然科学教席。

地理上的相对偏僻反而塑造了它的独特气质——远离柏林、巴黎等政治文化中心的喧嚣，却因王室的资助与欧洲学术网络保持着隐秘而紧密的联系。这里就像一个思想共和国，不同国籍、不同信仰的头脑在此为真理而共同奋斗。



当晨雾笼罩着莱讷河蜿蜒的河道，数学系古老的钟楼敲响时，这里的讨论班正在萌发改变世界的思想：从高斯手中诞生的微分几何，到希尔伯特笔下的 23 个数学问题；从黎曼开创的几何空间，到玻恩构建的量子力学矩阵——哥廷根学派证明：科学中心的形成，依托的是一种将纯粹理性与现实关怀熔铸为一的学术范式。甚至，纳粹铁蹄下的人才星散虽终结了其物理存在，却让“哥廷根精神”随流亡学者播撒全球。这兴衰起伏的学派发展史，不仅是一部科学中心迁移的地理志，更是现代学术范式诞生与嬗变的活化石。

NO.1  奠基伟业：从高斯到黎曼的哥廷根基因塑造（19 世纪初 — 1866）

● 高斯：“数学王子”的奠基

1807 年，30 岁的约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（Gauss）受聘为哥廷根大学教授。彼时的哥廷根，正经历着拿破仑战争的震荡，讲堂破败，学生寥寥。但高斯的到来犹如一道闪电，劈开了德国数学的蒙昧，并埋下了一个学派崛起的种子。

这位被后世誉为“数学王子”的天才，在哥廷根 48 年的学术生涯中，将数论、几何、天文学熔铸成一个严谨的体系——他在数论中首创的同余符号“≡”与系统符号体系，在此期间被其进一步完善并融入教学，成为刻画整数性质的标准语言；他在哥廷根天文台的穹顶下，创造性地将数学工具应用于大地测量，并于 1827 年发表成果结晶《曲面的一般研究》，揭示了曲面曲率的内蕴性质，开创了微分几何的新纪元。


约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（1777—1855），德国著名数学家、物理学家、天文学家、几何学家、大地测量学家。

高斯强调“少而精”的研究原则，每篇论文都如艺术品般打磨至完美，但他对学生的培养却呈现罕见的开放态度。波恩哈德·黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann）撰写博士论文时，作为导师的高斯鼓励其突破传统复分析框架，将几何直觉融入函数论——这篇被高斯盛赞“展现出罕见的哲学洞察力”的论文，何尝不是哥廷根学派“自由探索”精神的优秀结晶呢？

约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）亦是高斯学术思想的受益者，他与黎曼先后形成了哥廷根学派第一代学术传承链。

● 狄利克雷：学术传承的纽带

1855 年高斯逝世后，狄利克雷从柏林迁居哥廷根，接掌数学教席。这位曾在巴黎聆听傅里叶（Baron Jean Baptiste Joseph Fourier）教诲的数学家，将法国分析学的技巧与高斯的数论传统结合，开创了解析数论的新方向。数学史上著名的“黎曼猜想”，其核心工具“黎曼 ζ 函数”的解析延拓方法，正是脱胎于狄利克雷将数论问题转化为复变函数研究的分析方法。


约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷 (1805—1859），德国数学家，历任柏林大学和哥廷根大学教授，柏林科学院院士。

在哥廷根的四年间，狄利克雷延续其在柏林大学开设的讨论班模式，每周在数学系小楼里召集学生研读前沿文献，这成为后世学派协作研究的原型。

● 黎曼：学派研究维度的拓荒者

1859 年，黎曼接替狄利克雷的职位，同年，其发表论文《论小于给定数值的素数个数》，提出“黎曼猜想”。他将素数分布与复平面上的 ζ 函数零点分布关联，尽管其未给出证明，却为后世数论研究指明了方向。然而天妒英才，7 年后，黎曼因病逝世，年仅 40 岁。他的早逝使学派陷入短暂的沉寂，但他在哥廷根留下的几何思想，已为学派后续筑就数学大厦开辟了崭新的维度。


波恩哈德·黎曼（1826—1866)，德国数学家。

从高斯到狄利克雷，再到黎曼，哥廷根学派完成了从精密计算到抽象构造的第一次飞跃。他们不仅解决具体问题，更创造了全新的数学语言——高斯的数论符号、狄利克雷的分析方法、黎曼的几何框架，共同构成了 19 世纪数学的“哥廷根范式”，即以问题为导向，跨越代数、分析、几何的界限，在具体计算中提炼普遍原理。这种传统如同基因般注入学派的血脉，等待着下一代群星将其发扬光大。与此同时，哥廷根已悄然确立德国数学学术中心的地位，其严谨的研究范式与自由探索精神，成为德意志学术传统的标杆。

NO.2  中兴开拓：克莱因、希尔伯特与学派的崛起（1886—1900）

黎曼逝世二十年后，菲利克斯·克莱因（Felix Chris tian Klein）来到哥廷根，这成为学派复兴的关键转折点。

● 克莱因：“学术战略家”的全方位布局


菲利克斯·克莱因（1849—1925），德国数学家。

克莱因早年以“爱尔兰根纲领”闻名于世—— 1872 年，他提出，几何学的本质是研究空间在变换群下的不变量。这一思想以群论统一了当时分裂的几何分支，展现了其数学统一的远见。

更具学术远见的是，克莱因在哥廷根如同一名“学术战略家”，以大刀阔斧的改革、惊人的组织能力重塑哥廷根学术生态：他担任《数学年刊》的主编，主导期刊改革，使其从区域性刊物发展为能够与巴黎《数学杂志》分庭抗礼的学术阵地；他推动哥廷根大学建立现代化的数学研究所，将分散的研究室整合为协作空间，这是哥廷根成为数学中心的重要制度基础；他打破纯数学的封闭性，始终倡导数学与物理、工程的交叉，使哥廷根成为 20 世纪初数理交叉研究的全球策源地。

更重要的是，1895 年，哥廷根大学数学教席空缺，克莱因力主聘请戴维·希尔伯特（David Hilbert）。尽管希尔伯特当时年仅 33 岁，在学术领域的研究尚未完全成熟，但克莱因敏锐察觉到他的潜力，顶住了学界对“年轻学者是否胜任”的质疑，推动校方完成招聘。这一决策无疑是科学史上最成功的人才引进之一。

在克莱因的运筹下，哥廷根不仅巩固了德国数学中心的统治地位，学派更以开放的学术格局与跨学科视野，展现出向全球学术巅峰冲刺的态势。

● 希尔伯特：数学新王国的缔造者

希尔伯特的到来，为哥廷根注入了前所未有的活力。这位来自东普鲁士的数学家，研究兴趣广泛，从代数数论到几何基础，无不涉足。在克莱因的支持下，他在哥廷根迅速确立了学术地位。


戴维·希尔伯特（1862—1943），德国数学家，以其研究和远见卓识的 23 个问题对数学的各个领域产生了深远的影响。

1900 年，第二届国际数学家大会召开，38 岁的希尔伯特登上讲台，发表题为《数学问题》的历史性演讲。他在演讲中提出 23 个未解决的数学问题，几乎涵盖了当时数学的所有前沿领域。

希尔伯特问题的提出，标志着哥廷根学派从德国数学学术中心跃升为全球数学研究的“指挥塔”。当新世纪的曙光初现，克莱因与希尔伯特并肩站在哥廷根的讲台上，或许他们未曾想到，接下来的三十年，这里将上演人类科学史上最辉煌的数理革命。

NO.3  缔造辉煌：群星璀璨与数理革命的黄金时代（1900—1933）

希尔伯特的 23 问，本质上构建了“以关键问题牵引学科发展”的研究模式。他在哥廷根建立“问题研讨班”，将 23 个问题分解为具体的研究课题：每周组织学生报告问题进展，并通过《数学年刊》设立“问题专栏”，定期公布研究成果。这种将理论构想转化为集体攻关的机制，不仅使哥廷根成为全球数学家解决希尔伯特问题的协作中心，更催生出多元化的研究分支——从纯数学的抽象结构革命，到理论物理的数学化探索，再到应用数学的工程实践，哥廷根学派开始了前所未有的跨维度拓展。全球英才也因此云集此地，哥廷根学派迎来神话般的多元迸发的黄金时代。

● 纯数学的范式革命：抽象结构的胜利

外尔：连续群论的数学奠基

1913 年，赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）来到哥廷根，在希尔伯特的指导下研究分析学。他敏锐地察觉到群论与几何的深层联系，于 1923 年出版《连续群》，首次系统阐述李群的表示理论，将微分几何与群论结合。这一工作不仅为量子力学中的对称性研究提供工具，更预示着抽象结构在数学中的统治地位。1928 年，他在《群论与量子力学》中证明了紧致李群的表示定理，为原子光谱的对称性分析提供了数学工具。


赫尔曼·外尔（1885—1955），德国数学家、物理学家。

诺特：环论与理想论的创立

1916 年，被爱因斯坦称为“自女性开始接受高等教育以来最重要的、创造性的数学天才”艾米·诺特（Emmy Noether）加入哥廷根大家庭，其核心贡献在于将代数结构从具体对象中抽象出来：1918 年，她提出的“诺特定理”，揭示了物理系统对称性与守恒律的数学对应，成为 20 世纪理论物理的底层逻辑；1921 年，她发表《环中的理想论》一文，以公理化方法建立环与理想的理论，将代数从解方程的技艺升华为研究代数结构的科学，其影响延伸至计算机科学、密码学等现代领域。


艾米·诺特（1882—1935），德国数学家，被誉为“现代数学之母”。

阿廷：类域论的现代化

埃米尔·阿廷（Emil Artin）作为诺特的合作者，继承并拓展了抽象代数的方法。他在类域论中提出“阿廷互反律”，为代数数论提供了统一的框架。阿廷还系统研究了非交换代数，特别是结合代数的结构理论，证明了“阿廷定理”（半单代数可分解为单代数的直积），这些成果收录于他与诺特共同指导的《代数学》教材中，成为 20 世纪代数教科书的范本。


埃米尔·阿廷（1898—1962），德国数学家。

● 理论物理的哥廷根烙印：物理学的数学化

闵可夫斯基：四维时空的几何建构

作为希尔伯特的同窗，赫尔曼·闵可夫斯基（Hermann Minkowski）受克莱因的邀请，从 1902 年起，在哥廷根任教。1908 年，他在《空间与时间》的演讲中提出：“从今以后，空间本身和时间本身都已消失在阴影之中，只有两者的某种结合才能保持独立的实在性。”他将爱因斯坦的狭义相对论数学化为四维闵可夫斯基空间，用张量分析描述时空变换，为相对论提供了严谨的几何语言。其工作直接影响了爱因斯坦后来对广义相对论的数学表述。


赫尔曼·闵可夫斯基（1864—1909），德国数学家，曾是爱因斯坦的老师。

玻恩：矩阵力学与概率诠释

1921 年，马克斯·玻恩（Max Born）担任哥廷根大学物理研究所所长，并迅速将哥廷根打造成量子力学研究的中心。1925 年，他所提出的矩阵力学，与薛定谔的波动力学共同构成量子力学的两大形式体系。1926 年，他提出的“概率波”概念，成为量子力学哥本哈根诠释的核心。由此，哥廷根与哥本哈根、剑桥并列为量子力学三大发源地。


马克斯·玻恩（1882—1970），德国理论物理学家、量子力学奠基人之一、诺贝尔物理学奖获得者。

● 应用数学的范式建制：从理论到实践的通路

柯朗：数学物理方法的标准化

理查德·柯朗（Richard Courant）加入哥廷根后，在希尔伯特支持下推动应用数学的发展。1924 年，他与希尔伯特合著的《数学物理方法》第一卷出版，该著作系统整理了微分方程、变分法等工具，建立了应用数学研究的标准范式。


理查德·柯朗（1888—1972），德国裔美国籍数学家。

普朗特：现代流体力学的奠基

作为第二代早期成员，“现代流体力学之父”路德维希·普朗特（Ludwig Prandtl）于 1904 年提出“边界层理论”，成功解释了流体阻力的产生机制，这一理论直接服务于德国航空工业。1925 年，他建立威廉皇家流体力学研究所，将数学分析应用于航空工程。普朗特的研究所培养了西奥多·冯·卡门（Theodore von Kármán，1881—1963，美国航天工程学家，其学生有钱学森）等著名学者，使哥廷根“理论—实验—工程”三位一体的研究范式在全球航空工程领域开枝散叶。


路德维希·普朗特（1875—1953），德国力学家。

应该说，哥廷根的辉煌不仅源于天才人物，更在于其独特的学术生态。从希尔伯特的问题驱动，到不停延续深化的讨论班制度的思想碰撞；从纯数学的抽象建构，到物理与工程的应用转化，各领域形成了相互滋养的闭环。

1930 年代初，哥廷根已汇聚全球三分之一的顶尖数学家，学派成就达至巅峰。这座小城已成为当之无愧的“数学的麦加”，其学术光芒照亮了 20 世纪的科学天空。

NO.4  遭遇骤逝：纳粹浩劫下的崩塌与离散（1933—1945）

正当学派在抽象宇宙与量子世界中高歌猛进时，政治风暴已悄然来临。1933 年，希特勒上台执政，纳粹政权迅速将黑手伸向学术界。政府规定“非雅利安人”与“政治不可靠者”必须被解雇，因此，外尔、诺特、柯朗等学派核心成员被列入“清洗”名单。

这场浩劫的破坏力是毁灭性的，其可悲的不仅是人才的流失，更是学术传统的断裂。哥廷根数学研究所的藏书被审查，讨论班制度名存实亡，曾经充满活力的学术共同体瞬间瓦解。

1943 年 2 月 14 日，情人节的哥廷根笼罩在战争的阴影中，希尔伯特在这一天逝世，享年 81 岁。他的葬礼只有少数未被驱逐的学生参加，昔日门庭若市的数学系此刻冷冷清清。根据他的遗愿，其墓碑上镌刻“Wir müssen wissen, wir werden wissen”（译为“我们必须知道，我们终将知道”）。这句原本充满乐观主义的宣言，这一刻却显得格外苍凉——它既是对数学真理的终极信仰，也是一个时代落幕的悲壮挽歌。



NO.5  铸就永恒：思想、方法与人才的深远遗产（1945 至今）

1945 年后，哥廷根大学在废墟上开始重建。然而，世界数学中心已不可逆地转移至美国。当然，哥廷根的衰落不是结束，而是一场伟大迁徙的开始，其思想种子在更广阔的土地上生根发芽。

外尔加入美国普林斯顿高等研究院，陈省身在普林斯顿期间受其指导，将其几何群论思想融入微分拓扑研究，成为外尔学术传统在亚洲的重要继承者；柯朗在纽约大学重建应用数学研究中心；玻恩在爱丁堡大学继续量子力学研究，1954 年因概率诠释获诺贝尔奖……

当我们回望哥廷根学派这番波澜壮阔的兴衰，会发现，其留下的不仅是具体的定理与方法，更是一种学术精神，一种代表着 19 世纪末至 20 世纪中叶独特的、强调基础与创新的结合、追求纯粹与应用的统一、充满自由探究精神的学术范式。

从高斯时代的学术蛮荒之地到希尔伯特时代的全球学术中心，从纳粹时期的毁灭性打击到战后的精神传承，哥廷根学派的兴衰史，本质上也是德国数学在现代世界的成长缩影。这座小城之所以能成为“思想共和国”，还在于它完美诠释了德国数学的核心矛盾与张力：严谨性与创新性的平衡，纯粹性与应用性的互动，民族性与世界性的统一。

在数字化与全球化的今天，哥廷根的“思想共和国”理想以新的形式延续——德国数学正以其独特的严谨性与抽象思维，在人工智能的算法设计、量子计算的数学基础、复杂系统的建模分析等领域寻找新的突破点。而哥廷根学派的故事，终将成为德国数学史上最璀璨的篇章，它宛若一部跨越世纪的长篇神话，诉说着一个民族在追求科学真理过程中的光荣与苦难、智慧与反思。



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