高斯和正十七边形

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高斯和正十七边形

原创  科学季风  科学季风  2025 年 06 月 14 日 19:34  广东

德国数学家高斯（1777–1855）被誉为“数学王子”，一生取得了众多伟大的数学成就，对数论、代数学、微分几何、数学分析、线性代数等多个数学分支都有重大贡献。但在他心中有特殊地位的成果却是一个有关几何图形的证明：正十七边形。这个高度对称的十七边形，是高斯最引以为傲的一项数学证明的核心：高斯利用正十七边形解决了一个困扰数学家长达两千多年的古老难题，而他完成这一成就时年仅 18 岁。

回顾这段历史，我们可以看到从古人用作图法研究几何图形，到现代人用方程描述几何之间的深刻联系。

古希腊人在几何学方面造诣非凡，尤其重视尺规作图法。尺规作图法要求仅用一支笔和两种简单工具即圆规与直尺，构建出的具备特定几何性质的图形。这两种工具都不带刻度，因此使用者无法用它们直接测量长度或角度。

尺规作图法起源于公元前 3 世纪欧几里得的著作《几何原本》。欧几里得的目标是从尽可能少的公理出发，推导出整个几何体系。他并没有直接假设某些图形或几何对象的存在，而是希望从最基本的元素——直线与圆——出发，将它们一步步构造出来。比如，一个简单的尺规作图任务是在下图中找出从线段 AB 的中点。注意，不能用目测估计，必须用一种能够准确确定中点的方法来完成这个任务，并且这个方法不能是直接测量。

具体的方法如下：

首先，用圆规以点 A 为圆心、AB 为半径画一个圆。然后重复这一步，以点 B 为圆心、AB 为半径再画一个圆。这两个圆将会在两个点相交。接下来，使用直尺连接这两个交点。由于整个构造过程具有对称性，这条连接交点的垂直直线将恰好与线段 AB 在中点处相交，从而就精确地找出了中点的位置。


图 1 . 用尺规作图法确定一条线段的中点

这个练习的意义远不止于将一条线段平分，它还构造出两条直线之间的一个直角。并且，只需再连接几个点，就可以画出一个三角形，因为这个三角形的每一条边同时也是其中一个圆的半径。由于两个圆大小相同，三角形的三条边也就具有相同的长度。因此，我们可以用圆规和直尺构造出等边三角形。这样，我们就完成了欧几里得《几何原本》第一卷中的第一个命题的证明！


图 2 . 在上一步作图的基础上继续构造一个等边三角形

在所有可以用圆规和直尺构造的图形中，正多边形具有一种特别的地位。多边形是由若干条直线边围成的封闭图形，例如三角形和矩形（不同于圆这类曲线图形，或像字母 E 那样的不封闭图形）。正多边形具有最高程度的对称性：它们的边长相等，角度也完全相等，而不像矩形或菱形那样只是部分对称。用圆规和直尺画一个随意的、不规则三角形很轻松，在纸上任意选三个点，用线连接即可。但要构造一个完美对称的等边三角形（也就是一个正多边形），则需要更为巧妙、优雅的几何技巧。

欧几里得找出了构造三边形、四边形和五边形等正多边形的方法。他还在这些基本构造的基础上进一步推广，例如，一旦在纸上画出了一个正多边形，通过一个简单的操作，就可以得到一个边数加倍的新正多边形。

这个加倍的过程可以重复任意多次。这意味着，正三边形、正四边形和正五边形可以依次转化为正六边形、正八边形和正十边形，接着是正十二边形、正十六边形、正二十边形……依此类推。欧几里得还找到了如何通过“相乘”的方式，将正三边形和正五边形组合，构造出一个正十五边形的方法。

通过以上方法，欧几里得原则上可以构造出一个边数多达 3072 的正多边形（也就是将一个三角形连续加倍 10次）。但进展在这里停滞了，他不知道如何构造一个正七边形或正十一边形。需要指出的是，边数大于二的正多边形都是存在的，并且使用更强大的工具是可以构造出来的。欧几里得留下的问题是：哪些正多边形可以仅用尺规作图法来构造？这个问题在接下来的两千年里一直没有答案。

直到 1796 年春天，年轻的高斯正在哥廷根大学读书，他决定来研究它。高斯的研究思路如下：构造一个正多边形的问题可以简化为仅仅构造出一条具有特定长度的线段。比如，要构造一个正十七边形，可以从一个单位圆开始（即半径为 1 ），并在圆上选取一个点 A ，如下图所示。设想我们能够在圆周上，从 A 出发，精确找到顺时针方向 1/17 圆周位置上的红点 B 。如果我们能从蓝点构造出这个红点，就可以将这一操作重复进行 17 次，并用直尺依次连点成线：一个正十七边形就诞生了。

那么，已知点 A ，我们该如何定位点 B 呢？观察一下下图，如果能够画出标记为 x 的那条红色线段，就可以由此定位到红点 B ，那么问题就解决了。也就是说，用尺规构造一个正十七边形的问题，最终归结为用尺规画出一条长度恰好为 x 的线段。


图 3 . 正十七边形的构造过程示意图

在以上图形中，因为弧 AB 是圆周的 1/17 ，所以对应的圆心角就等于 2π⁄17 ，通过基本的三角函数知识，我们可以知道 x 的值是 cos(2π/17) 。

我们能否仅用圆规和直尺构造出任意长度的线段呢？到了高斯的时代，数学家们已经知道：一个长度是否可由尺规作图法构造，取决于它是否可以通过对整数进行加法、减法、乘法、除法以及开平方这五种运算来表示。因此，一些看起来奇怪的数字，比如 √(99/5) ，是可构造的（因为 99 和 5 是整数，而我们对它们进行了除法和开平方）；而另一些看起来更熟悉的数，比如圆周率 π 和 2 的立方根，则无法构造，因为它们无法仅用这五种运算来表示。

令人惊奇的是，古希腊人用来绘制几何图形的那些最基本工具和作图方法，恰好对应于现代代数中的自然运算：加法（+）、减法（ - ）、乘法（×）、除法（ / ）以及开平方（√）。这一对应关系的根源在于，用于表示直线和圆的代数方程仅涉及这五种运算。代数学作为数学的一个重要分支，诞生于 9 世纪，距离欧几里得的时代远隔千年，欧几里得的研究方法，无意中和千年后的数学体系正好匹配起来。

那么，高斯需要做的就是，证明那个特殊的长度 x ，即 cos(2π/17) ，能用尺规作图法所允许的五种代数运算来表达，从而就在原理上证明了正十七边形是可构造的。

这里略去高斯对 cos(2π/17) 的繁复的证明和计算过程，只是给出他的计算结果如下，在以下的结果中，可以看到，用 5 种对整数的代数运算可以得到 cos(2π/17) 的值，因此可以用尺规作图法在单位圆的半径上做出长度为 cos(2π/17) 的线段 x ，在这个线段的端点作垂线，垂线和圆的交点即是 B 点。



高斯不但证明了正十七边形可以用尺规构造，还进一步说明了哪些正多边形是可构造的，哪些则不是。根据高斯提出的正多边形作图定理，一个正多边形可以用尺规作图法构造，当且仅当它的边数  n 可以表示为：



其中，k 是非负整数，p1, p2, …, pm 是互不相同的费马素数。费马素数是指可以表示如下形式的素数：



已知的费马素数有：3、5、17、257 和 65537 。

1837 年，法国数学家皮埃尔·旺策尔（Pierre Wantzel）对高斯的正多边形作图定理给出了严格的证明，证实了高斯没有遗漏任何情况。这意味着，高斯不仅描述了所有可用尺规构造的正多边形所必须具备的形式，他与旺策尔还通过严密的数学论证，回答了两千多年前欧几里得的困惑：像正七边形和正十一边形这样的图形，确实无法仅凭圆规和直尺构造出来，而且还有无限多种类似的图形也同样不能由尺规作图法构造。

高斯的的正多边形作图定理在数学上有非常重大的意义，它直接推动了代数、数论和群论的发展。后来，法国数学家伽罗瓦（Galois）在高斯成果的基础上，发展出群论和域论，用以系统研究多项式的可解性，并最终建立了伽罗瓦理论。

高斯对于破解这个千年难题感到很自豪，据他的传记作者邓宁顿（G. Waldo Dunnington）记载，高斯曾说过希望自己的墓碑上刻上一个正十七边形。可惜，这个愿望最终未能实现。不过，在高斯的出生地——德国不伦瑞克的一座纪念碑上，背面刻着一颗十七角星。石匠之所以选择星形，是因为他认为人们无法分辨正十七边形和一个圆。想必欧几里得不会认同这个石匠的看法。

科学季风