从平均数谈起

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从平均数谈起

原创  月冷塘寒  绿森林里的故事  2025 年 06 月 23 日  北京

今天我们来讨论几个与平均数相关的小问题。

一、基本定义

相信大家对于均值不等式都不陌生。考虑两个正实数a和b，可以定义它们的几种平均数：



那么它们满足 H ≤ G ≤ A ≤ S ，且等号只在 a = b 的时候取到，这就是两变量时的均值不等式。当然，上述定义也可以自然地推广到有 n 个正实数的情形，这里就不详细展开了。

对于 n = 2 情形的均值不等式来说，它有一个很不错的几何解释（可惜这个不是我原创，忘了是在哪儿看到的了……）。



如上图所示，A、B、C 三点共线，令 AC=a ，BC=b ，然后以 AB 为直径作半圆，设圆心为 O 。

作 OE 和 CD 垂直于 AB ，分别交半圆于点 E 和 D ，那么显然橙色的线段 OE 为半圆的半径，为 a 与 b 的算术平均数。

由三角形相似知 CD/AC=CB/CD ，于是绿色的线段 CD 为 a 和 b 的几何平均数。

过点 C 作 CG 垂直于 OD ，则青色的 DG 为 a 和 b 的调和平均数。

最后平方平均数在哪儿呢？就是图中红色的线段 CE 。

很明显能看出，CE>OE=OD>CD>DG，亦即 S>A=A>G>H 。

二、平均数与级数

可能有不少人在学习级数时都有下面的困惑：为什么无穷项的等差数列又叫算术级数，无穷项的等比数列又叫几何级数？

其实这些级数的名字和平均数密切相关。不难验证，算术级数中的每一项（除了首项之外，下同），都是前后两项的算术平均数；几何级数中的每一项，都是前后两项的几何平均数。

那这些平均数的名字又是怎么来的？

算术平均数看起来比较自然，毕竟加法是最基本的算术，因此它也是大家通常默认的平均数。

几何平均数则多半与几何相关。例如作一个正方形，使其面积与某已知的长方形相等，则正方形的边长就是长方形两边长的几何平均数。

那调和平均数呢？

个人认为调和平均数可能来自调和级数（harmonic progression），亦即自然数的倒数数列 1，1/2，1/3 …… 不难发现，这个级数的每一项，恰好也是前后两项的调和平均数！

而调和级数的名字怎么来的呢？据说是因为古希腊人发现，当两根琴弦的长度之比为 1/2、1/3 等简单分数时，听到的声音比较和谐，于是有了 harmonic 的说法。

三、平均数的统一

上述四种平均数的形式上看起来有点乱，既不方便记忆，也不方便理解其内在联系，能否想个办法把它们统一起来？

答案是肯定的，甚至简单得出乎意料。

设 f1 和 f2 为两个变量，f为它们的某种平均。由于要考虑不同种类的平均数，我们需要预先分配一个参数k来标记其类型。

这个参数 k 应该放在哪儿？简单的想法是放在指数上，于是就有了如下猜测形式：



当 k = 2、1 和 -1 时，不难验证它们分别对应于平方平均数、算术平均数和调和平均数！看起来只剩几何平均数还没有纳入这个框架了。

2、1 和 -1 这几个数强烈暗示我们，k=0 或许就是几何平均数。虽然 k = 0 时，f 的 0 次方直接等于 1 ，看起来和没说一样，但是真的如此么？

不妨来假定 k 是一个很小但不为 0 的量，然后外推到 k = 0 ，看看会出现什么。

当 k 很小但不为 0 时，总可以作麦克劳林展开（其实也就是泰勒展开）：



于是原来的式子就化为



两边消去 1 并约掉 k 后，就有



这样就有



恰好是几何平均数！

至此，我们就成功地统一了上述四种平均数。

四、加权平均

中学数学课中讲过一个加权平均的概念，即当各数据的重要程度不一样时，需要分别乘上一个权重系数来求和，这很好理解。

例如二元体系当两种组分的含量不同时，体系的总体性质肯定不是两个组分性质的简单平均值，而必须要考虑它们的体积分数或者质量分数。

设两组分的含量分别为 x 和 1-x 。在最简单的线性情形下，可以认为总体性能随着 x 线性变化：



这个形式可以看作是 f1 和 f2 的加权算术平均数。那其他的平均数能不能类似操作？

其实也可以的，而且形式一如既往地简单：





上图中红、绿、蓝、青色曲线分别代表利用两组分含量加权后的平方平均、算术平均、几何平均和调和平均值，此时两组分各自的值分别是 5 和 15 。可以发现，此时均值不等式仍然成立。

五、混合

在实际生活和研究中常常碰到所谓“混合”的问题。当不存在特别复杂的相互作用时，“混合”的结果都落在两组分各自的值之间，此时可以用某些平均数来估计其范围。

需要指出的是，能用平均数来直接估计的性质应当是体系的强度量，而非广延量。强度量与体系规模无关，例如体系的密度、温度、电阻率等；而广延量则与体系的大小相关，例如体系的质量、内能、电阻值等。

举个例子，在平行板电容器的两极板之间填充两块等大的平板状电介质。假设这两块电介质的界面平行于电容器的极板，那么该体系的等效介电常数是二者介电常数的调和平均值；而如果这两块电介质的界面垂直于电容器极板，体系的等效介电常数将会是二者介电常数的算术平均值。

如果电介质的厚度不相同呢？用加权平均即可。

如果电介质不止两种呢？用多组元的加权平均就好。

那如果电介质有很多块，也不是平行排列，而是以某种不规则密堆方式填满极板之间的空间呢？

此时就没有显式表达式了，但是我们总可以根据各组分的介电常数和体积分数，求出相应的调和平均 H 和算术平均 A ，等效的结果应当落在 (H, A) 这个区间之中。

博主曾经猜测，如果两组分充分均匀混合，那么等效的介电常数可能会取加权几何平均的形式。后来博主在豆包和 DS 两位老师的指导下了解到，有两种经验模型可以描述均匀混合体系的介电常数。

第一种是显式的 Lorentz-Lorenz 公式：



代入两组分的体积分数即可求出等效介电常数 ε 。

第二种是隐式的 Bruggeman 公式：



此时上式不能直接解出，只能用数值方法求解。



上图中洋红色虚线为 Bruggeman 公式给出的结果，黑色虚线为 Lorentz-Lorenz 公式给出的结果。一般认为 Bruggeman 公式更精确一些，而它与蓝色的加权几何平均也更为接近。

六、神奇的 lnx

最后来谈一个小问题。

很久以前知乎上有人提问，说其他幂函数的原函数都是幂函数，只有 1/x 的原函数是对数函数 lnx ，这背后有没有更深层的原因？

然后曾经有朋友问我，为什么在讨论算法时间复杂度的时候，经常出现 O(lnN) 的形式？

博主觉得，或许可以换一个观点来看待对数函数 lnx 。在某种程度上，它具有“零阶多项式函数”的一些特点。前面关于几何平均数可以认为是 k=0 情形的讨论，可以作为一个佐证。

另一方面，如果将对数函数 lnx 视为“零阶多项式函数”，就可以对上面的两个问题给出不错的回答。

大家都知道，多项式函数积分一次则次数升一，那么 1/x 的原函数应该是个 0 次的函数，常函数显然不满足要求，那就是 lnx 了；而在讨论时间复杂度的时候，如果要比 O(N2) 、O(N) 更快，那么次数就得再降 1 ，于是对数函数再次以 O(lnN) 的面貌出现。

在计算机科学里有些时候会提到，如果算法优化到 O(lnN) 的程度，那和常数时间复杂度没什么差别。从上述观点来看，那可太自然了，毕竟这俩都相当于零阶多项式！

那如果用一阶的 x 除以“零阶”的 lnx ，会得到什么呢？

毫无疑问，x/lnx 的增长速度肯定远大于 lnx ，但会低于 x ，这个比较平凡。真正有意思的是，x/lnx 大致刻画了在 (1, x) 这个区间内质数的数量！

所以，lnx 真的无处不在。

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