求不定积分 ∫dθ／(1+εcosθ)^2 ，其中 0＜ε＜1

永远

\(\huge\int_0^\theta  {\frac{1}{{{{\left( {1 + \varepsilon \cos \theta } \right)}^2}}}} d\theta \)

其中：\(0 < \varepsilon  < 1\)

wilsony

这个积分确实很难算。

elim

wilsony 发表于 2025-7-13 20:28
这个积分确实很难算。

还是可以求出的 (万能代换+有理函数积分)

永远

elim 发表于 2025-7-14 16:08
还是可以求出的 (万能代换+有理函数积分)

谢谢elim前辈指导，不过在下有些愚笨，请问 (万能代换+有理函数积分)的计算过程呢？

wilsony

同问。elim大师愿写下计算过程吗？

elim

wilsony 发表于 2025-7-15 23:39
同问。elim大师愿写下计算过程吗？

万能代换和有理函数积分都是初等微积分的篇幅冗长的内容．
但只要有耐心和细心肯动手，没有什么难点，不受机敏愚钝
的影响．或许把卡在哪里贴出来我看看？
Mathematica, deepseek 怎么说？也贴出来看看？

wilsony

Mathematica能显示积分计算过程吗？

luyuanhong

永远

luyuanhong 发表于 2025-7-18 19:06

综上我们有：

最终答案（\(0 < \varepsilon < 1\)）
\[\boxed{\int_{0}^{\theta} \frac{1}{(1 + \varepsilon \cos x)^2} dx = \frac{2}{(1 - \varepsilon^2)^{3/2}} \arctan\left( \sqrt{\frac{1 - \varepsilon}{1 + \varepsilon}} \tan \frac{\theta}{2} \right) - \frac{\varepsilon \sin \theta}{(1 - \varepsilon^2)(1 + \varepsilon \cos \theta)}}\]