基本不等式与待定系数法一题

luyuanhong

基本不等式与待定系数法一题

原创  广州 65 中神探金金  唯数是萌  2025 年 07 月 14 日 09:38  广东

一、题目呈现



二、参考解答



唯数是萌

波斯猫猫

思路：由x+y+z=1，有1=x+y/2+y/2+z/3+z/3+z/3

≥6(xy^2z^3/108)^(1/6),    (按目标拆分，一步到位)

即xy^2z^3≤1/432 (仅当x=1/6,y=1/3,z=1/2时，取等号).

∴ 12/x+8/y^2+9/z^3≥3[864/(xy^2z^3)]^(1/3)

≥3[864x432]^(1/3)=216 (仅当x=1/6,y=1/3,z=1/2时，取等号).

∴ (12/x+8/y^2+9/z^3)min=216.

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答很好！已收藏。

波斯猫猫

主帖需解的方程相当于解下列方程

解方程 (12x)^(1/2)+(16x)^(1/3)+(27x)^(1/4)=1.

思路：令(27x)^(1/4)=a＞0，则x=a^4/27,

且12x=4a^4/9，16x=16a^4/27,故原方程化为

2a^2/3+2a(2a)^(1/3)/3+a=1，

即2a^2+2a(2a)^(1/3)+3a=3，或

(2a)^2+2(2a)(2a)^(1/3)+3(2a)=6，

令t=(2a)^(1/3)＞0，则有t^6+2t^4+3t^3-6=0，

即(t-1)(t^5+t^4+3t^3+6t^2+6t+6)=0.

∴ t=1，a=1/2，x=a^4/27=1/(16×27)=1/432.