闭集E与一点\(p \notin E\)的距离是否有可能不大于0？

wufaxian

数学分析原理P78定理4.16。白启光老师的公开课中针对这个定理给出了一个例题用以具象化定理4.16。例题如下：

4.16 定理 设 \( f \) 是紧度量空间 \( X \) 上的连续实函数，并且  
\[
M = \sup_{p \in X} f(p), \quad m = \inf_{p \in X} f(p),
\]
那么，一定存在两点 \( r,\, s \subseteq X \)，使得 \( f(r) = M \)，及 \( f(s) = m \)。





例题：度量空间\(X\)，紧集\(E\subseteq X,X内一点p \notin E\)。\(d(p,E) := \inf\{d(p,q),q \in E\}\) 。

请问如果\(E\)不是紧集，那么\(d(p,E)\)是否还一定大于零？
请问如果\(E\)是闭集，那么\(d(p,E)\)是否还一定大于零？





我的疑问来自于第二问。老师说，即便\(E\)是闭集\(d(p,E)\)也不一定大于零

如果不从函数的角度考虑，只从拓扑的角度考虑，第一问容易看出，如果\(E\)不是紧集，那么\(E\)可能不是闭集，也不一定有界。如果点\(p \notin E\)是\(E\)的极限点，那么\(d(p,E)=0\)，也就是\(d(p,E)\)不一定大于零。

但是第二问，\(E\)已经是闭集，闭集包含了所有的极限点。此时还有哪种情况使得\(d(p,E)\)不一定大于零呢？我实在想不出这样的例子。O3也说这种情况下\(d(p,E)\)一定大于零。这个问题已经超出了定理4.16的范围了。

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