平面几何的学与思 53 ——中位线、重心与平行四边形的综合应用

luyuanhong

平面几何的学与思 53 ——中位线、重心与平行四边形的综合应用

原创  太阳元素  太阳元素  2025 年 07 月 20 日 18:11  广东

在《中点的应用——平行四边形的对角线互相平分》的短文中，概述了中点的几个应用场景——中位线，直角三角形斜边中线，平行四边形的对角线互相平分。前面的几道正方形相关证明题已经很好地体现了这几个场景，这次再看一道典型题。

题 53 ：

五边形 ABCDE 中，对角线交点如图示，Q、R、S 分别是 AC、BD、AD 的中点，且 CR = RE ，

求证：BT = TP = PE 。


                原图


                解题图

证：

    连 AR 交 BE 于 O ，连 OQ、OS ，Q 是 AC 中点，CR = RE

        BR∥AE ，且 QR = AE / 2 ，

∵ R、S 分别是 BD、AD 的中点，

∴ RS（CE）∥AB ， BR = RD

四边形 AERB 是平行四边形，

BR = AE = RD 、AB = RE 、BQ = QR

四边形 AEDR 是平行四边形，

O 是 AR、BE 的中点

∵ S 是 AD 的中点

∴ OS = RD / 2  = AE / 2  = BD / 4

∵ CR = RE

∴ CR = RE = AB

    而 CE∥AB

∴ 四边形 ABCR 是平行四边形，

    Q 是 BR、AC 的中点

∴ BQ = QR = BR / 2 = OS

O 是 AR 中点，

OS = AE / 2，

则 OS 是 ΔARE 中位线

即：OS∥AE∥BD（QR）

四边形 OSRQ 是平行四边形

P 是 ΔARE 重心，

OP = PE / 2  

OS∥BD ，

ΔPOS ～ ΔPBD

(OP / PB) = (OS / BD) = (OS / 2BR) = 1/4

即 PB = 4 OP  ， OB = OE = 3 OP  

同理，T 是 ΔARB 重心，

BT = 2 OT

即 OB = 3 OP

故 OP = OT

∴ OB – OT = OE – OP

即 BT = PE

AE∥BD ，

ΔBTQ ∽ ΔETA

(BT / TE)= (BQ / TE) = (BQ / BR) = 1/2

即： TE = 2 BT

∴ TE = 2 PE

故 TP = PE = BT

太阳元素

王守恩

说得有点绕。

\(∵BD,CE互相平分,∴BCDE=平行四边形。\)

\(∵AB∥ER,AE∥RB,∴AERB=平行四边形,AR,EB互相平分。\)

\(∵AR∥ED,AE∥DR,∴AEDR=平行四边形,AD,ER互相平分。\)

\(∵AR∥BC,AB∥CR,∴ABCR=平行四边形,AC,BR互相平分。\)

\(S△_{BQT}=S△_{ATO}=S△_{AOP}=S△_{EPS}=1,\)

\(S\Box_{OTQR}=S\Box_{OPSR}=S△_{ABT}=S△_{ATP}=S△_{APE}=2,\)

王守恩

\(延长A,O,R至F, 可以有:AO=OR=RF。\)

\(S△_{BQT}=S△_{ATO}=S△_{AOP}=S△_{EPS}=1,\)

\(S\Box_{OTQR}=S\Box_{OPSR}=S△_{ABT}=S△_{ATP}=S△_{APE}=2,\)