天才与疯子之间——约翰·纳什的遗产

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天才与疯子之间——约翰·纳什的遗产

原创  围城里的猫  MathSpark  2025 年 07 月 20 日 19:52  江苏

这个人是个天才。

描述约翰·福布斯·纳什（John Forbes Nash, Jr. ，1928 年 6 月 13 日 - 2015 年 5 月 23 日）时，很难比卡内基理工学院的教授理查德·达芬（Richard Duffin）更简洁。他在写给普林斯顿大学的推荐信中说道：“这个人是个天才。”那是 1948 年：纳什放弃了化学工程学位，转而攻读数学学位，正开始一段旅程，这段旅程最终使他成为 20 世纪最著名的数学家之一。



尽管哈佛大学也对他表示了兴趣，纳什最终还是决定在普林斯顿大学攻读研究生，并在那里发表了一篇很短的论文《N 人博弈中的均衡点》（Equilibrium points in N - person games），首次提出了“纳什均衡”概念，并因此获得了 1994 年诺贝尔经济学奖（与赖因哈德·泽尔滕和约翰·海萨尼共享）。由于他在博弈论方面的贡献，纳什被任命加入兰德公司（RAND Corporation），该机构将这个相对年轻的研究领域应用于当时紧迫的政策问题：核武器、太空竞赛、冷战等。

然而，纳什在数学上的贡献远不止博弈论。纳什是典型的问题解决者：只要某个重要的公开问题让数学家们多年都无法攻克，它就值得他投入注意——即使他在该领域几乎没有任何背景知识。事实上，正是这种对传统方法的陌生，加上他非凡的天赋，使得他能够提出突破性的视角，震撼整个数学界。

1954 年和 1956 年，纳什发表了后来被称为“纳什嵌入定理”（Nash Embedding Theorems）的一系列论文，证明了每一个黎曼流形都可以嵌入到某个欧几里得空间中。这项成果起源于麻省理工学院的同事沃伦·安布罗斯（Warren Ambrose）的一句挑战：“你这么厉害，为什么不去解决流形的嵌入问题？”这个问题最早由路德维希·施莱夫利（Ludwig Schlafli）在 1873 年提出，是微分几何中一个长期未解的难题。

纳什的证明涉及他首创的一种解决偏微分方程系统的新方法，而这类方程在此前被认为是无法解的。他的方法如今已被应用于天体力学领域。正如约翰·康威（John Conway）所言，这是“本世纪最重要的数学分析成果之一”；米哈伊尔·格罗莫夫（Mikhail Gromov）更是评价：“他在几何学上的成就……远远超过他在经济学上的贡献。”

这项工作也在一定程度上与他的死亡有关：2015 年，纳什在前往挪威领取阿贝尔奖（Abel Prize）归途中——该奖正是为了表彰他在“非线性偏微分方程理论及其在几何分析中的应用方面所做出的惊人而奠基性的贡献”——所乘的出租车发生车祸，他与妻子艾丽西亚（Alicia）双双遇难。

当然，在讨论纳什一生的过程中，无法忽视那个曾让世界失去其天才近三十年的疾病——精神分裂症；然而矛盾的是，正是这场病也在某种程度上让全世界认识了这位天才（部分归功于西尔维娅·娜萨尔的传记《美丽心灵》以及其改编的同名好莱坞电影）。



1959 年，纳什首次入院治疗，该病迫使他同年辞去了麻省理工学院的职位，1962 年与妻子艾丽西亚离婚（他们于 2001 年复婚），在那段“失落的岁月”里，他常常如幽灵一般在普林斯顿校园中游荡。后来他逐渐康复，并在 1980 年代重新开始与数学界交流，包括与好友哈罗德·库恩（Harold Kuhn）。1996 年，他在一封电子邮件中表示，他摆脱“非理性思维”并未依赖药物，而是“由于自然的衰老过程中的荷尔蒙变化”。

在一个数学家日益专业化的时代，纳什显得格外独特：他的兴趣与成就横跨博弈论、分析学、几何学、流体力学、非线性偏微分方程，甚至包括宇宙学（他还是普林斯顿的学生时，曾主动找爱因斯坦讨论自己关于引力、摩擦和辐射的想法）。揣测如果没有这场病他本可以在哪些领域作出更多贡献是徒劳的；我们更应庆祝理查德·达芬在最初就已识别出的那一点：他的天才。

纳什均衡

对决策行为的数学研究可追溯至法国数学家安托万·古诺（Antoine Cournot），他在 1838 年首次发表了有关博弈的理论分析；但这一研究真正的发展，始于 1944 年冯·诺依曼（John von Neumann）和奥斯卡·摩根斯特恩（Oskar Morgenstern）合著的《博弈论与经济行为》（Theory of Games and Economic Behaviour）。

这一领域后来被称为博弈论（game theory）。所谓“博弈”，是由参与者（玩家）、可选择的一组动作（或策略）以及一个收益函数组成，这个函数决定了每个玩家根据所有玩家选择的策略所获得或失去的结果。

最初的博弈论研究仅限于零和博弈：即一个人获得的收益，恰好等于另一个人的损失（例如猜拳游戏中，一方赢就意味着另一方输）。然而，尽管大多数棋类游戏属于零和博弈，但它们在现实世界的经济事务中几乎没有意义，特别是在当时尤其重要的战争问题上。

人们逐渐意识到，两人零和博弈仅适用于彻底毁灭的战争；而在现实中，对立双方往往会存在一些共同利益，并且通过合作可以实现双赢（例如在第二次世界大战中，同盟国没有摧毁鲁尔区的煤矿，因为他们知道，从长远来看，那样做会适得其反）。

纳什在 1950 年发表的论文（以及 1951 年发表的后续论文）首次提出了纳什均衡（Nash Equilibrium），彻底改变了博弈论的研究方向，使其从零和博弈中走出。

假设有  N 个玩家，每个玩家都有自己的策略，并且每个人都知道其他人的策略。当没有任何一位玩家可以通过单方面改变策略来提升自己的收益时，这种局面就称为纳什均衡。

在解释纳什均衡时，常见的例子是囚徒困境；另一个例子是猎鹿博弈（Stag Hunt）：两个玩家可以选择猎鹿或猎兔。猎鹿带来的食物更多，但必须两人同时选择猎鹿才能成功捕获；若只有一人选择猎鹿，那么他将一无所获。而猎兔则可一人独立完成但收益较低。

在这个游戏中存在两个纳什均衡：

● 两人都选择猎兔；

● 两人都选择猎鹿。

因为一旦单方面改变策略，分别将导致没有食物或获得更少食物。纳什证明了：所有博弈中至少存在一个均衡点。

尽管纳什均衡并不总能完全符合现实中的人类行为——我们通常不知道其他人会作何选择；人类经常会做出非理性或错误的决策；我们也未必能信任他人会遵守他们所宣称的策略（比如某人声称会去猎鹿，但你怎么确定他最后一刻不会临时改主意去猎兔，让你挨饿？）——博弈论及纳什的贡献，仍被广泛应用于：

● 战争与军备竞赛中的政策制定（正是在纳什发表博弈论论文的时代）；

● 社会互动的解释；

● 市场营销策略的设计；

● 经济学理论的发展。

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