（问题已解决，谢谢各位）函数逼近求最佳 a 值

永远

已知：

\(\Large G\left( \lambda  \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty  {{{\left( {\frac{{\left( {2n - 3} \right)!!}}{{\left( {2n} \right)!!}}} \right)}^2}} {\lambda ^{2n}}\)

\(\Large {F\left( {\lambda ,a} \right) = \left( {1 + \frac{{3{\lambda ^2}}}{{10 + \sqrt {4 - 3{\lambda ^2}} }}} \right)\left( {1 + \left( {\frac{{22}}{{7\pi }} - 1} \right){{\left( {\frac{{2\lambda }}{{1 + \lambda }}} \right)}^a}} \right),0 < \lambda  < 1}\)

采用\({F\left( {\lambda ,a} \right)}\)逼近\(G\left( \lambda  \right)\)求最佳a值

如果用 Mathematica 软件怎么编程？

我们希望：选择 \( a \) 使得在整个区间 (0,1) 上的最大绝对误差最小。

即：

\(\Large {a^*} = \mathop {\arg \min }\limits_a \left( {{{\max }_{\lambda  \in (0,1)}}\left| {F(\lambda ,a) - G(\lambda )} \right|} \right)\)

永远

诚邀Ysu2008前辈指导

Ysu2008

永远 发表于 2025-8-6 12:49
诚邀Ysu2008前辈指导

Mathematica 太贵了没用过，此题不会。

永远

Ysu2008 发表于 2025-8-6 14:34
Mathematica 太贵了没用过，此题不会。

前辈用自己手中现有的软件和手段，不用Mathematica能不能求出来？？？

Ysu2008

永远 发表于 2025-8-6 15:30
前辈用自己手中现有的软件和手段，不用Mathematica能不能求出来？？？

因为
（1）没看懂你的\(G\left( \lambda\right)\)是个啥函数；
（2）“最优a值”的最优条件没说明；
所以不会做。

永远

Ysu2008 发表于 2025-8-6 21:54
因为
（1）没看懂你的\(G\left( \lambda\right)\)是个啥函数；
（2）“最优a值”的最优条件没说明；

编辑上有点小问题，请先生再看1楼主贴

Ysu2008

DeepSeek 的解答：

Ysu2008

DeepSeek  给的完整 Mathematica 代码：

1. (* 定义系数 c_n *)
   
2. c[0] = 1.0;
   
3. c[1] = (1/2)^2;
   
4. c[n_] := (Binomial[2n-3, n-2] / (2^(2n-2) * n) )^2 /; n>=2;
   
5. 
   
6. (* 定义 G(λ) 为截断级数，nmax=2000 *)
   
7. G[λ_, nmax_] := Sum[c[n] * λ^(2n), {n, 0, nmax}];
   
8. 
   
9. (* 设置截断项数和离散点集 *)
   
10. nmax = 2000;
    
11. lambdas = Join[Range[0.01, 0.99, 0.01], {0.999, 0.9999, 0.99999}];
    
12. 
    
13. (* 预计算 G(λ) 在离散点上的值 *)
    
14. gVals = Table[{λ, G[λ, nmax]}, {λ, lambdas}];
    
15. 
    
16. (* 定义 F(λ,a) *)
    
17. k = 22/(7*Pi) - 1;
    
18. F[λ_, a_] := (1 + (3 λ^2)/(10 + Sqrt[4 - 3 λ^2])) * (1 + k * ((2λ)/(1+λ))^a);
    
19. 
    
20. (* 定义最大绝对误差函数 *)
    
21. maxError[a_?NumericQ] := Module[{errList},
    
22.     errList = Table[
    
23.         With[{λval = gVals[[i, 1]], gVal = gVals[[i, 2]]},
    
24.             Abs[F[λval, a] - gVal]
    
25.         ],
    
26.         {i, Length[gVals]}];
    
27.     Max[errList]
    
28. ];
    
29. 
    
30. (* 最小化最大绝对误差，搜索区间 a ∈ [17,19] *)
    
31. result = NMinimize[{maxError[a], 17 <= a <= 19}, a, Method -> "NelderMead"];
    
32. 
    
33. (* 输出结果：最优 a 和对应的最大误差 *)
    
34. Print["最优 a = ", a /. Last[result]];
    
35. Print["最大绝对误差 = ", First[result]];

复制代码

永远

Ysu2008 发表于 2025-8-7 11:47
DeepSeek  给的完整 Mathematica 代码：

运行上面的代码得：最优 a = 19.     最大绝对误差 = 0.000150882……

显然   绝对误差 = 0.000150882……不是最小的

随便举个例子，当a=45时，最大绝对误差 =0.00002261172748……都比 0.000150882……小。

Ysu2008

永远 发表于 2025-8-7 12:12
运行上面的代码得：最优 a = 19.     最大绝对误差 = 0.000150882……

显然   绝对误差 = 0.0001508 ...

代码默认搜索区间是[17,19]，你调整搜索区间试试。