整体换元法的妙用和陷阱

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整体换元法的妙用和陷阱

原创  KK  格里高的数学之旅  2015 年 07 月 11 日 23:06  上海

上篇文章提到待定系数法，今天我们来聊一聊另一个好用的方法：整体换元法。

一、从一个有趣的题目开始



整体换元，设结果为 x ，然后等式两边同时平方，得：



显然  x  大于 0 ，所以 x1 = -1 舍去。

即得：x = 2 。

二、无限循环小数转化成分数

我们知道有理数都可以变成分数形式。

有限小数变成分数很容易：只要乘以 10^n 使小数变整数，该整数为分子， 10^n 为分母的分数通过约分化简，即为所求。

无限循环小数怎么变成分数呢？

比如：1.23 789 789 789 …… 怎么变成分数呢？

设 x = 1.23 789 789 789 ……

那么

     100x        =       123.789 789 789 ……

    100000x    =  123789.789 789 789 ……

两式子相减，得：

100000x - 100x = 123789.789 789 789 …… - 123.789 789 789 ……

99900x = 123666

x = 123666 / 999000

最后一步，分数约分化简即可。

三、整体换元法的陷阱

在我的第一篇文章《全体自然数的和为 - 1/12 ？证明过程错在哪？》中，我们用的也是整体换元法，但推导出了一个明显错误的结论。

问题出在哪了呢？

使用整体换元法求解类似前面级数和问题的时候，有个前提：所求的级数是一个收敛级数。

在第一篇文章中，a 的值始终在 1 和 0 之间跳跃，不会收敛，所以推导出错误的结论。

当然，严格证明级数的收敛性已经超过我们初中生的能力范围。

好消息是：我们并不需要证明收敛性。

如果你看到类似级数求和的题目，说明出题老师已经确保它是收敛级数，他只是在考察我们是否掌握类似整体换元的解题方法，所以，你只管大胆用整体换元法，不用考虑它的陷阱！

不要让老师知道我们知道他们的小心思，哈哈哈……

最后，留一道思考题：



留言写出你的答案吧！

格里高的数学之旅

liangchuxu

思考题解答：