关于行星绕日运动的几个小疑问

永远

陆老师好，行星绕日运动到任一点的线速度是不是等于这个  \(\displaystyle v = \frac{2}{{k\sqrt {1 + \varepsilon } }}\sqrt {\frac{2}{r}{\rm{ - }}\frac{1}{a}} \)

如果是，为啥线速度求导后得到的加速度不等于这个：\(\Large a = \frac{{{{(1 + \varepsilon )}^3}}}{{{\lambda ^2}{r^2}}}\)

其中：\(\displaystyle \lambda  = k\frac{{{{\left( {1 + \varepsilon } \right)}^2}}}{2}\)

另外\(\displaystyle t = ks\left( \theta  \right) = k\frac{{{{\left( {1 + \varepsilon } \right)}^2}}}{2}\int_0^\theta  {\frac{1}{{{{\left( {1 + \varepsilon \cos \theta} \right)}^2}}}} d\theta \)

这个\(k\)与引力常数到底有啥关系，能不能求出它们这间的关系式。

具体请参看如下贴子：

高中遗留问题：根据行星沿椭圆轨道绕日运动的规律，推导万有引力公式
http://www.mathchina.com/bbs/for ... 1&fromuid=80637

wilsony

行星线速度的公式是怎么得到的？

wilsony

公式中epslon是什么量？太复杂太难了。

simpley

线速度公式
v=√GM(e^2+2ecosx+1)/R(1+ecosx)
G是万有引力常数，M是中心物体质量，e是圆锥曲线离心率。R是运动物体到中心的距离。
楼上的线速度莫明奇妙。连个角度都没有，怎么确定它的位置。

simpley

simpley 发表于 2025-8-4 08:17
线速度公式
v=√GM(e^2+2ecosx+1)/R(1+ecosx)
G是万有引力常数，M是中心物体质量，e是圆锥曲线离心率。R ...

一个运动物体的位置是由极径和角度所决定，如果只有极径，这个物体的位置都确定不了。除非圆锥曲线的方程已知。但你的公式显然并不包括圆锥曲线的方程。

simpley

我认真看了一下，你的那个线速度公式本质上和我的是一样的。这个公式是指线速度大小的公式，它的导数是不能表示加速度的。速度是有方向的，这公式只是表示大小。
只有速度和加速度在同一直线时，才能用它的大小函数求导得加速度。否则必须考虑速度方向的变化

永远

求助于陆老师

simpley

在椭圆情况下，这两个线速度公式是等价的。说明在椭圆长轴一定情况下，不同的椭圆在极径相同的条件下，线速度是一样的。
楼主根号外的的式子是个常数，可以不考虑。

wilsony

wilsony 发表于 2025-8-4 13:24
公式中epslon是什么量？太复杂太难了。

r是行星到太阳的距离吗？a和k又是什么量？