一个优雅的代数恒等式证明

luyuanhong

一个优雅的代数恒等式证明

原创  围城里的猫  MathSpark  2025 年 07 月 31 日  江苏

数学家是一群对美极度包容的人，暴力计算是美，奇思妙想有时也是美。同时他们也拥有很多双眼睛，善于从不同角度看问题。

比方说我们今天讨论的话题，也许它不是一个那么难的问题，不过它允许我们从不同的角度去观察它。



这个等式如果让那些暴力学派的数学家来证明，他们大概率会直接展开是来验证的。如果你不是暴力学派的，也没有超绝的计算力，那么你大可以借助计算机，也能很快地搞定这个等式的证明。

然而，我个人对这个恒等式是否存在更优雅的证明方式非常感兴趣，直觉告诉我这个等式展示了很美的对称性。

为了更严谨，我需要解释什么是优雅的证明，这里举一个例子可能会更好。



优雅的证明

我本人就不是暴力学派的，为了避开繁琐的计算，得有一些不同的角度来观察要证明的恒等式。考虑到等式右边是一个因式分解的形式，因此代数基本定理的引入可能是一个不错的方向。

这时需要一些注意力惊人的观察。



还有没有其他的

上面的证明很棒是不是？完美地避开了暴力的计算，但我更好奇的是，我们是否还能通过某些变换把这个恒等式与其他平凡恒等式联系起来等等，就像我们举的那个例子一样。关于这一点，我没有想出来有什么方式？如果你知道，可以在评论区与我们交流。

不过如果你允许使用一些更进阶一点的工具，我们还可以有不同的理解，我想你可能听说过范德蒙行列式。如果你没有听说过，那么我们在下面补充了它的背景。





MathSpark

王守恩

\(好看一点。x^2 (z - y) + y^2 (x - z) + z^2 (y - x) = (x - y) (y - z) (z - x)\)