令人惊奇的超越数和代数数

luyuanhong

令人惊奇的超越数和代数数

原创  围城里的猫  MathSpark  2025 年 08 月 03 日 21:07  江苏

代数数是某个整数系数的多项式的根。而超越数是指不是任何此类多项式的根的数。

在这篇推送中中，我们将深入解析这些定义，探讨两类数的一些性质，并了解它们在数学各个分支中的应用。当然我们只讨论实数情形，但这些概念同样适用于复数。

代数数的定义

如上所述，代数数是指某个具有整数系数的多项式（有时称为整系数多项式）的根。



代数数的简单例子

有哪些代数数的例子呢？我们可以从一些简单的整系数多项式的根开始看起。

根据定义，任何这类多项式的根，都是一个代数数。



不可解的代数数

前面的讨论并未涵盖所有可能的代数数。还有一种额外类型的代数数。



我们并不是说某些因式是相同的，或者某些因式是虚数。我们也不是说这些因式存在，但我们不知道如何找到它们。

我们是说这些因式根本不存在。这个多项式本身就不是由若干个因式相乘构成的——它的结构就不是那样。

那么，如果一个函数不能被因式分解，是否就意味着它没有根呢？我们可以很容易地画出它的图像来看一看。答案是：它确实有根。



代数数的集合是可数的

我们可以将无限集合分为两类：可数的和不可数的。

所有整数的集合是无限的，但它是可数的；而所有实数的集合是不可数的。

那么，代数数的集合呢？我们知道每个代数数都是某个整系数多项式的根。那么，这些根是可数的吗？



超越数

正如我们之前所看到的，任何不是代数数的数，就是超越数。换句话说，超越数就是不是任何整系数多项式的根的数。

在研究代数数的早期，人们并不清楚超越数是否真的存在。毕竟，我们有太多方法可以通过有理数和无理数的组合构造代数数。谁能断言，我们不能通过某种组合构造出所有实数呢？

顺带一提，现在我们知道代数数的集合是可数的，而实数的集合是不可数的。既然不可数集合的大小大于可数集合，那么就必然存在一些实数不是代数数（即是超越数）。不过，这个结论要归功于康托尔（Cantor），而在他出生之前，人们对超越数的研究就已开始了。

但即使我们知道超越数的确存在，找到它们却是一项艰难的任务。我们必须证明某个数不可能是任何整系数多项式的根。这需要极大的巧思。至今仍有一些几乎可以确定是超越数的数，但没人能够真正证明它们是。

我们不会在这里详细展开相关证明，这个有机会留到以后的推送来讨论。

刘维尔常数



超越的数学常数



i 的 i 次方



超越数的集合是不可数的

我们知道每一个实数要么是代数数，要么是超越数。我们之前已经证明了：代数数的集合是可数的。那么，超越数的集合是怎样的呢？

为了简洁起见，我们将使用一些关于集合与数的著名结论（不作证明）：

第一个事实是：实数集合是不可数的。也就是说，不像代数数集合，实数集合无法按顺序排好并一一计数。虽然代数数有无限多个，但实数的数量远远超过它们。

第二个事实是：如果你从一个不可数集合（比如实数）中移除一个可数集合（比如代数数），那么剩下的集合仍然是不可数的。在我们的例子中，从不可数的实数集合中去掉可数的代数数集合，剩下的就是超越数的集合。

这就证明了：超越数的集合是不可数的。

这个结论可能有些反直觉。我们熟悉很多代数数——所有整数、所有分数、所有平方根和立方根…… 但是大多数人听说过的超越数，可能也就是 π 和（也许）e 。

但事实上，几乎所有的数都是超越数。反而是代数数，从整体来看，极其稀有。



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