一阶线性微分方程的齐次与非齐次的通解（常数变易法）

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一阶线性微分方程的齐次与非齐次的通解（常数变易法）

原创  秦迷天下  秦迷天下  2025 年 08 月 07 日 00:00  湖南

这里接着讲解一阶线性微分方程的求解方法。

上一篇是使用可分离变量的微分方程求解，符合 g(y)dy=f(x)dx 的一阶微分方程，相对来说是比较简单的，其中题目：镭-226 衰变过程的含量随着时间变化的规律，也是对微分方程的具体应用。

这里我们将通过求解齐次方程以及由数学大神拉格朗日给出的常数变易法来求非齐次方程的通解，进一步加深对一阶线性微分方程的了解。



之所以称之为一阶线性微分方程，是因为如果将上述微分方程等号的左侧看作关于 y 的函数，即：f(y) = dy/dx +P(x)y 那么该函数符合线性函数的定义，也就是满足：

齐次性 ----- f(cy) = cf(y),c∈R

可加性 ----- f(y1+y2) = f(y1) + f(y2)

“齐次”和“非齐次”跟线性方程组中的齐次和非齐次类似，也就是一阶微分方程和线性方程组会有很多相似之处。



齐次方程我们会做了，然后这里方程右边多出了 Q(x) ，齐次方程变成了非齐次方程，拉格朗日给出的常数变易法就是将常数 C 换成函数 u(x) 。



两边求导之后通过乘积法则，求出 u(x) ，这样就得到了非齐次线性微分方程的通解了。包含两部分，一个是齐次的通解，一个是非齐次的特解。

那么为什么可以这么做呢？（以下是个人的通俗理解，仅供参考）

我们可以将齐次解比作“钥匙胚”，而需要解决非齐次的这个具体的解（锁），那么我们需要另外精心打磨这个“钥匙胚”，使其能够打开这把具体的锁，关键点就是使用什么工具来打磨。

比如这个例子，我们大概来了解下拉格朗日的想法：



首先求出齐次解，可以看到跟 e^x 是很像的，也就是说，我们是否可以将齐次解的结构作为基础框架，来解非齐次解呢？如果是单纯的常数 C ，好像变化不大，仅仅是缩放的效果，那么当我们将常数变换成函数这把动态变化的刻刀，来雕刻“钥匙胚”，那威力就大了，打磨成专门针对 e^x 这把具体锁的钥匙（特解）。

这里给出一个推导（毕竟不清楚拉格朗日的具体想法）：





最后给出一个例子，使用常数变易法来熟悉非齐次方程的解法：





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秦迷天下