999^2～1001^2之间至少有几个孪生素数对？ 如何证明？

cuikun-186

999^2～1001^2之间至少有几个孪生素数对？
如何证明？

cuikun-186

在1962年发表的论文《Approximate formulas for some functions of prime numbers》中，

罗瑟（J. Barkley Rosser）与肖恩菲尔德（Lowell Schoenfeld）

提出了关于素数计数函数 π(n)（表示不超过 n的素数个数）的精确上下界估计是：

n大于等于17，π(n)>n/lnn,

据此优化崔坤的孪生素数对个数下界公式：

π2inf(x)=x/(lnx)^2-2，x≥17

则998001～1002001之间至少有：

[1002001/(ln1002001)^2-998001/(ln998001)^2]=18

即至少有18个孪生素数对。

另外一个办法是再用崔坤的⊿=n/(lnn)^2计算一下：

这里的n=999,⊿=999/(ln999)^2≈20

非常感谢杨传举老师给出的真值数量：26个

26>18，

26>20

这验证了逻辑推理严谨且自洽性。

cuikun-186

具体数据请知道的老师们帮助给出，谢谢

cuikun-186

具体数据请知道的老师们帮助给出，谢谢

yangchuanju

学点“拿来主义”，学点“偷懒艺术”——
n^2到(n+2)^2之间到底有多少对孪生素数？
早就有人算过了，“拿来用一用“，不算剽窃！

A263204给出n=1----n=10000之间的10000组孪生素数对数，
Number of twin prime pairs between n^2 and (n+2)^2.
1 2        11 2        21 2        9991 173
2 2        12 3        22 2        9992 174
3 2        13 3        23 3        9993 152
4 2        14 3        24 4        9994 159
5 2        15 4        25 2        9995 166
6 2        16 3        26 0        9996 164
7 2        17 2        27 3        9997 171
8 1        18 1        28 5        9998 159
9 2        19 2        29 2        9999 156
10 3        20 3        30 1        10000 157

其中26-28平方间没有孪生素数对；
121-123平方间只有1对孪生素数；
53-55-57平方间都只有2对孪生素数；……

yangchuanju

再拿来一个——
A071538给出n=1----n=99998之间的99998个孪生素数对数值
Number of twin prime pairs (p, p+2) with p <= n.
1 0        11 3        21 4        9991 205        99991 1224
2 0        12 3        22 4        9992 205        99992 1224
3 1        13 3        23 4        9993 205        99993 1224
4 1        14 3        24 4        9994 205        99994 1224
5 2        15 3        25 4        9995 205        99995 1224
6 2        16 3        26 4        9996 205        99996 1224
7 2        17 4        27 4        9997 205        99997 1224
8 2        18 4        28 4        9998 205        99998 1224
9 2        19 4        29 5        9999 205       
10 2        20 4        30 5        10000 205       
可以通过其它途径得到99999,100000以内的孪生素数对数仍然是1224对。

yangchuanju

9^2----11^2                2
11^2----13^2                3
99^2----101^2                7
101^2----103^2                7
999^2----1001^2                26
1001^2----1003^2                31
9999^2----10001^2                156
10000^2----10002^2                157
               
1103^2----1105^2                26
11103^2----11105^2                ?
111103^2----111105^2                ?
1111103^2----1111105^2                ?

cuikun-186

yangchuanju 发表于 2025-8-21 11:53
学点“拿来主义”，学点“偷懒艺术”——
n^2到(n+2)^2之间到底有多少对孪生素数？
早就有人算过了，“拿 ...

非常感谢杨老师！