\(\huge^\star\;[0,1]\textbf{不可数的几种证明}\)

elim

【定义】称\(S\)的子集全体\(\mathscr{P}(S)=\{A\mid A\subset S\}\)为\(S\)的幂集.
【康托幂集定理】任意映射 \(f:S\to\mathscr{P}(S)\) 皆非满射．
【证明】命 \(A=\{x\in S\mid x\not\in f(x)\}\in.\mathscr{P}(S)\). 若 \(f\) 为满射，
\(\qquad\qquad\)则有 \(\alpha\in S\) 使 \(f(\alpha)=A\).  据 \(A\) 的定义，
\(\qquad\qquad\)若 \(\alpha\in A\) 则 \(\alpha\not\in f(\alpha)=A;\)
\(\qquad\qquad\)若 \(\alpha\not\in A=f(\alpha),\) 则 \(\alpha \in A.\)
\(\qquad\qquad\)得到 \((\alpha\in A)\iff (\alpha \not\in A)\)  的矛盾！
\(\qquad\qquad\)故所论\(\alpha\)不存在, \(f^{-1}(A)=\varnothing,\;f\) 非滿射．

【注记】康托的这个定理与幂集公理一起，表明集与其幂集恒
\(\quad\)不对等，有无穷多不同的无穷基数．

【证法一】论证 \([0,1]\), \(\mathscr{P}(\mathbb{N})\) 对等. 据康托幂集定理知\([0,1]\)不可数：

令 \(\mathscr{L}(\mathbb{N}_+)=\{A\in\{B,B^c\}:\;B\subset\mathbb{N}_+,\;0< |B|\in\mathbb{N}_+\}\)
易见(\(\mathbb{N}_+\)的有限子集及其补集全体) \(\mathscr{L}(\mathbb{N_+})\) 可数.
\(\bigg(A\mapsto \displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}_+}2^n\chi_A(n) \) 是\(\mathbb{N}_+\)的有限子集到\(\mathbb{N}\) 的单射.\(\bigg)\)
令 \(C_0 =  \displaystyle\{{\small\sum_{k=1}^\infty\frac{\chi_A(k)}{2^k}}\mid A\in\mathscr{L}(\mathbb{N}_+)\},\;C=[0,1)-C_0\)
\(\quad\)对 \(\alpha\in C,\;\;a_k=\lfloor 2^k\alpha\rfloor -2\lfloor 2^{k-1}\alpha\rfloor,\;(k=1,2,3,\ldots)\),
\(\quad\)因 \(2^{n-1}\alpha-\lfloor 2^{n-1}\alpha\rfloor< 1,\;\lfloor 2^k\alpha\rfloor -2\lfloor 2^{k-1}\alpha\rfloor\in\{0,1\}\)
\(\therefore\quad\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{2^{n}}=\lim_{m\to\infty}\sum_{n=1}^m\big(\frac{\lfloor 2^n\alpha\rfloor}{2^n}-\frac{\lfloor 2^{n-1}\alpha\rfloor}{2^{n-1}}\big)\)
\(\qquad\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{\lfloor 2^n\alpha\rfloor}{2^n} =\lim_{n\to\infty}\frac{2^n\alpha-(2^n\alpha-\lfloor 2^n\alpha\rfloor) }{2^n} = \alpha\)
\(\therefore\quad \alpha\in C\) 与
\(A=\{n\in\mathbb{N}_+:\;\lfloor 2^n\alpha\rfloor -2\lfloor 2^{n-1}\alpha\rfloor = 1\}\in\small\mathscr{P}(\mathbb{N}_+)-\mathscr{L}(\mathbb{N}_+)\)
\(\qquad\)的关系是1-1对应.  故\(|\mathbb{R}|=|C|=|\mathscr{P}(\mathbb{N})-\mathscr{L}(\mathbb{N}_+)|=|\mathscr{P}(\mathbb{N})|=2^{\aleph_0}>\aleph_0\)

【证法二】(反证法) 设序列\(\{a_n\}\)是\(\mathbb{N}_+\)与\([0,1]\)的一一对应.
引入映射\(\quad\rho([a,b],\xi)=\begin{cases}[a,\frac{2a+b}{3}],& \xi>\frac{2a+b}{3}\\ [\frac{2a+b}{3},\frac{a+2b}{3}], & \xi >\frac{a+2b}{3}\\ [\frac{a+2b}{3},b] & \xi\le\frac{a+2b}{3}\end{cases}\)

令\(I_0=[0,1],I_1=\rho(I_0,a_1),\ldots,I_n=\rho(I_{n-1},a_n),\ldots.\) 易见
\((1)\;I_{k+1}\subset I_k,\;(2)\;a_k\not\in I_k,\;(3)\; \max(I_k)-\min(I_k)\to 0\)
据区间套定理, \(E=\bigcap\{I_n\mid n\in\mathbb{N}_+\}\ne\varnothing\). 但据\(\{I_n\}\)的定义,
\(a_n\not\in E\,(\forall n\in\mathbb{N}_+)\) 必有\(E=\varnothing\). 这个矛盾证明所论一一对应
不存在. 即\([0,1]\)不可数.

APB先生

      对于 \(\left[ 0{,}1\right]\) 中的可数的全体小数，我可以从无穷小小数 \(0.\dot{0}1\) 开始写，一直写到无穷大小数 \(0.\dot{9}9\) ，并建立与自然数集 \(\mathbb{N}\) 的一一对应：\[f:\left\{ 0.\dot{0}1{,}\ 0.\dot{0}2{,}\ \cdots{,}\ 0.\dot{9}9\right\}\leftrightarrow\left\{ 1{,}\ 2{,}\ \cdots{,}\ \dot{9}9\right\}\subset\mathbb{N}\]
      而楼主 elim 尽管一生都坚信 \(\left[ 0{,}\ 1\right]\) 不可数，却从来也写不出任何一个不可数的小数来，这就已经说明：\(\left[ 0{,}\ 1\right]\) 不可数是错误的。

APB先生

      你还是先弄清楚区间 \(\left[ 0{,}1\right]\) 有没有不可数的实数吧！！如果你连一个不可数的元素都找不到，却还要相信
\(\left[ 0{,}1\right]\) 不可数，还要搞出华而不实的多个证明，岂不是大错特错，错了 180 度，大方向都错了，还证明个屁呀！
      我写出了  \(\left[ 0{,}1\right]\) 的可数的元素有无穷多个，你犹如瞎子似的视而不见；却还迷信没有一个不可数元素的
\(\left[ 0{,}1\right]\) 是不可数的，由此可见：你是是非颠倒啊 ！！

APB先生

      你还是先弄清楚区间 \(\left[ 0{,}1\right]\) 有没有不可数的实数吧！！如果你连一个不可数的元素都找不到，却还要相信
\(\left[ 0{,}1\right]\) 不可数，还要搞出华而不实的多个证明，岂不是大错特错，错了 180 度，大方向都错了，还证明个屁呀！
      我写出了  \(\left[ 0{,}1\right]\) 的可数的元素有无穷多个，你犹如瞎子似的视而不见；却还迷信没有一个不可数元素的
\(\left[ 0{,}1\right]\) 是不可数的，由此可见：你是是非颠倒啊 ！！

APB先生

三蛋：
      别不要脸的自吹了，谁不知道幂集不过是集合的子集的集合？？   
      你还是先弄清楚区间 \(\left[ 0{,}1\right]\) 有没有不可数的实数吧！！如果你连一个不可数元素都找不到，却还要相信
\(\left[ 0{,}1\right]\) 不可数，还要搞出华而不实的多个“证明”，岂不是大错特错的大傻瓜，错了 180 度，大方向都错了，还证明个屁呀！
      我写出了  \(\left[ 0{,}1\right]\) 的可数的元素有无穷多个，你犹如瞎子似的视而不见；却还迷信没有一个不可数元素的
\(\left[ 0{,}1\right]\) 是不可数的，由此可见：你是是非颠倒啊 ！！

APB先生

elim 发表于 2025-8-27 22:17
证法二(反证法) 设序列\(\{a_n\}\)是\(\mathbb{N}_+\)与\([0,1]\)的一一对应. 引入映射\(\\\)
\(\rho([a,b ...

三蛋 elim：
      我等着看你的笑话呢，是伪证写不下去了吧？是理屈词穷了吧？
      不可数的任意实数，你找到一个没有？我断定你八辈子也找不到一个！！
      可数的任意实数，我已经写出了无穷多，你一个也推不翻。

APB先生

      因为\[\left| \left[ 0{,}1\right]\right|=\left| \left\{ 0{,}\frac{1}{1\dot{0}}{,}\frac{2}{1\dot{0}}{,}\cdots{,}\frac{1\dot{0}-1}{1\dot{0}}{,}1\right\}\right|=1\dot{0}+1\]
      所以 \(\left[ 0{,}1\right]\) 可数。

APB先生

三蛋 elim :
      因为你所谓的不可数 \(\left[ 0{,}1\right]\) 中根本就没有一个不可数元素，只有 \(1\dot{0}+1\) 个可数元素；
      所以你的 \(\left[ 0{,}1\right]\) 不可数证明是不成立的，是表里不一的驴粪蛋子，是二个伪证。

春风晚霞

       由于elim根本不知道什么是自然数？什么是无穷？什么是趋向无穷？什么是无穷数？什么是超穷数？所以elim总结出来的一切“理论”均不自洽，也不与现行数学兼容。
        一、什么是自然数？
        现行教材对自然数有两种定义：
        定义1（康托尔定义）有限集合的基数称作自然数。
        显然康托尔是认同无穷自然数的，因为在康托尔非负整数集\(\Omega=\)\(\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\Omega_j=\)\(\{j\omega，j\omega+1，j\omega+2，……j\omega+\nu\}\)，当j=0时，\(\Omega_0=\)\(\{0，1，2，\)\(…，\nu\}\)，其中\(\nu=\)\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\),因此我们有理由认为康托尔是支持\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\in\mathbb{N}\)的。
        定义2（即皮亚诺公理定义）满足皮亚公理的非负整数叫自然数
        现在我们证明数\(\nu=\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\)满足皮亚诺公理：因数\(\nu\ne0\)，所以\(\nu\)有直前\(\nu-1\),同理\(\nu-1\)有直前\(\nu-2\)，…根据定理〖若\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\)\(\mathbb{N}\),则\(\mathbb{N}=\phi\).〗所以皮亚诺亦认可\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\),同时，我们还可以证明\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(n+j)\in\mathbb{N}\).故此\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)满足皮亚诺公理，所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)是自然数。
        二、什么是无穷，什么是趋向无穷？
        定义1（威尔斯托拉斯定义）对\(\color{red}{\forall\varepsilon>0，\exists N(=[\tfrac{1}{\varepsilon}]+1)\in\mathbb{N}}\)称\(\mathbb{N}_{\infty}=\)\(\{n|n> N(=[\tfrac{1}{\varepsilon}]+1)\}为\infty\),当\(n\in\mathbb{N}\)时，称n趋向于\(\infty\),记为\(n\to\infty\).
        根据威尔斯托拉斯关于\(\mathbb{N}_{\infty}\)的定义，\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\).
        三、什么是无穷数，什么是真穷数？
        在现行数学理论中我们称集合\(\mathbb{N}_{\infty}=\)\(\{n|n> N(=[\tfrac{1}{\varepsilon}]+1)\)中的每个数都叫无穷数，而集合\(\Omega_j=\)\(\{j\omega，j\omega+1，j\omega+2，…j\omega+\nu\}\)(\(j\ne 0\)）中的每个数都叫超穷数！显然大学者elim的\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\),\(\mathbb{N}_{\infty}=\phi\)都不自洽，也不与现行数学兼容。
        我知道我写这些elim是不会看的，不过把这些东西写出来对盲目参加elim培训的网友也许还是有一点警示作用的！

春风晚霞

对数学elim必须讲论证、讲自洽

       由于elim根本不知道什么是自然数？什么是无穷？什么是趋向无穷？什么是无穷数？什么是超穷数？所以elim总结出来的一切“理论”均不自洽，也不与现行数学兼容。
        一、什么是自然数？
        现行教材对自然数有两种定义：
        定义1（康托尔定义）有限集合的基数称作自然数。
        显然康托尔是认同无穷自然数的，因为在康托尔非负整数集\(\Omega=\)\(\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\Omega_j=\)\(\{j\omega，j\omega+1，j\omega+2，……j\omega+\nu\}\)，当j=0时，\(\Omega_0=\)\(\{0，1，2，\)\(…，\nu\}\)，其中\(\nu=\)\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\),因此我们有理由认为康托尔是支持\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\in\mathbb{N}\)的。
        定义2（即皮亚诺公理定义）满足皮亚公理的非负整数叫自然数
        现在我们证明数\(\nu=\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\)满足皮亚诺公理：因数\(\nu\ne0\)，所以\(\nu\)有直前\(\nu-1\),同理\(\nu-1\)有直前\(\nu-2\)，…根据定理〖若\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\)\(\mathbb{N}\),则\(\mathbb{N}=\phi\).〗所以皮亚诺亦认可\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\),同时，我们还可以证明\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(n+j)\in\mathbb{N}\).故此\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)满足皮亚诺公理，所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)是自然数。
        二、什么是无穷，什么是趋向无穷？
        定义1（威尔斯托拉斯定义）对\(\color{red}{\forall\varepsilon>0，\exists N(=[\tfrac{1}{\varepsilon}]+1)\in\mathbb{N}}\)称\(\mathbb{N}_{\infty}=\)\(\{n|n> N(=[\tfrac{1}{\varepsilon}]+1)\}为\infty\),当\(n\in\mathbb{N}\)时，称n趋向于\(\infty\),记为\(n\to\infty\).
        根据威尔斯托拉斯关于\(\mathbb{N}_{\infty}\)的定义，\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\).
        三、什么是无穷数，什么是真穷数？
        在现行数学理论中我们称集合\(\mathbb{N}_{\infty}=\)\(\{n|n> N(=[\tfrac{1}{\varepsilon}]+1)\)中的每个数都叫无穷数，而集合\(\Omega_j=\)\(\{j\omega，j\omega+1，j\omega+2，…j\omega+\nu\}\)(\(j\ne 0\)）中的每个数都叫超穷数！显然大学者elim的\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\),\(\mathbb{N}_{\infty}=\phi\)都不自洽，也不与现行数学兼容。
        我知道我写这些elim是不会看的，不过把这些东西写出来，也算是对盲目参加elim培训的网友的一点友情提示吧！