相邻孪生素数对间隙规律

yangchuanju

孪生素数对间距分布
两相邻孪生素数对之间的间距除前两个孪生素数(3,5)和(5,7)外都是6的倍数——
2,6,12,18,24,30，……
各个间距不是按从大到小的顺序依次出现的，而是某些大间隙（间距）抢先出现——
A113274给出82抢先（第一次）出现的孪生素数对的间隙（Record gaps between twin primes.  孪生素数对间距记录）——
2,6,12,18,30,36,72,150，…………
A113275和A036062分别给出对应的两个相邻孪生素数对的孪小素——
3,5；5,11；17,29；41,59；71,101；311,347；659,809；……
第82号间距、前孪小素、后孪小素分别是35640、70478530884413021和70478530884377381（17位素数）；
更大的间距记录值至今尚未被发现。

A113274-82        A036062-82        A113275-82
Record gaps between twin primes.               
孪生素数间距记录               
        Increasing gaps among twin primes: the smallest prime of the second twin pair.      
                   Lesser of twin primes for which the gap before the following twin primes is a record.
a(n) = A036062(n) - A113275(n).
1 2        1 5        1 3
2 6        2 11        2 5
3 12        3 29        3 17
4 18        4 59        4 41
5 30        5 101        5 71
6 36        6 347        6 311
7 72        7 419        7 347
8 150        8 809        8 659
9 168        9 2549        9 2381
10 210        10 6089        10 5879
11 282        11 13679        11 13397
12 372        12 18911        12 18539
13 498        13 24917        13 24419
14 630        14 62927        14 62297
15 924        15 188831        15 187907
16 930        16 688451        16 687521
17 1008        17 689459        17 688451
18 1452        18 851801        18 850349
19 1512        19 2870471        19 2868959
20 1530        20 4871441        20 4869911
21 1722        21 9925709        21 9923987
22 1902        22 14658419        22 14656517
23 2190        23 17384669        23 17382479
24 2256        24 30754487        24 30752231
25 2832        25 32825201        25 32822369
26 2868        26 96896909        26 96894041
27 3012        27 136286441        27 136283429
28 3102        28 234970031        28 234966929
29 3180        29 248644217        29 248641037
30 3480        30 255953429        30 255949949
31 3804        31 390821531        31 390817727
32 4770        32 698547257        32 698542487
33 5292        33 2466646361        33 2466641069
34 6030        34 4289391551        34 4289385521
35 6282        35 19181742551        35 19181736269
36 6474        36 24215103971        36 24215097497
37 6552        37 24857585369        37 24857578817
38 6648        38 40253424707        38 40253418059
39 7050        39 42441722537        39 42441715487
40 7980        40 43725670601        40 43725662621
41 8040        41 65095739789        41 65095731749
42 8994        42 134037430661        42 134037421667
43 9312        43 198311695061        43 198311685749
44 9318        44 223093069049        44 223093059731
45 10200        45 353503447439        45 353503437239
46 10338        46 484797813587        46 484797803249
47 10668        47 638432386859        47 638432376191
48 10710        48 784468525931        48 784468515221
49 11388        49 794623910657        49 794623899269
50 11982        50 1246446383771        50 1246446371789
51 12138        51 1344856603427        51 1344856591289
52 12288        52 1496875698749        52 1496875686461
53 12630        53 2156652280241        53 2156652267611
54 13050        54 2435613767159        54 2435613754109
55 14262        55 4491437017589        55 4491437003327
56 14436        56 13104143183687        56 13104143169251
57 14952        57 14437327553219        57 14437327538267
58 15396        58 18306891202907        58 18306891187511
59 15720        59 18853633240931        59 18853633225211
60 16362        60 23275487681261        60 23275487664899
61 16422        61 23634280603289        61 23634280586867
62 16590        62 38533601847617        62 38533601831027
63 16896        63 43697538408287        63 43697538391391
64 17082        64 56484333994001        64 56484333976919
65 18384        65 74668675834661        65 74668675816277
66 19746        66 116741875918727        66 116741875898981
67 19992        67 136391104748621        67 136391104728629
68 20532        68 221346439686641        68 221346439666109
69 21930        69 353971046725277        69 353971046703347
70 22548        70 450811253565767        70 450811253543219
71 23358        71 742914612279527        71 742914612256169
72 23382        72 1121784847661339        72 1121784847637957
73 25230        73 1149418981435409        73 1149418981410179
74 26268        74 2543288406415499        74 2543288406389231
75 28842        75 2797282815510341        75 2797282815481499
76 31302        76 12914226879347819        76 12914226879316517
77 31482        77 16155559543356239        77 16155559543324757
78 31512        78 37338553629149579        78 37338553629118097
79 31920        79 37962553054449419        79 37962553054417547
80 33042        80 38617975949249099        80 38617975949216087
81 34692        81 52000545890794799        81 52000545890760149
82 35640        82 70478530884413021        82 70478530884377381

yangchuanju

上面的3个网页给出的是孪生素数对的大间距、（较小的）孪小素出现记录；
但在OEIS中没有找到对应的孪生素数对的小间距、（较大的）孪小素出现记录；
根据网页《Gaps between twin primes》（网址：https://sweet.ua.pt/tos/twin_gaps.html）中提供的数表《Twin_gaps.txt》分析可得相应的记录表——
孪小素和间距一路增大之记录（143）
序号        间距        孪小素
1        2        3*
2        6        5*
3        12        17*
4        18        41*
5        24        617*
6        42        2267*
7        90        3581*
8        102        6449*
9        114        21377*
10        144        23057*
11        174        38747*
12        216        80231*
13        258        87251*
14        306        139661*
15        336        152081*
16        354        214787*
17        384        542537*
18        516        829121*
19        564        1278617*
20        576        2127971*
21        594        2298887*
22        708        2575091*
23        726        3687401*
24        816        4969841*
25        864        5934347*
26        894        5936657*
27        1014        9429347*
28        1026        12245951*
29        1044        13920287*
30        1134        18025877*
31        1224        24331157*
32        1296        26695391*
33        1344        26765657*
34        1368        28339739*
35        1404        37700147*
36        1410        41750477*
37        1422        50107529*
38        1434        51929567*
39        1632        58882559*
40        1656        74189831*
41        1662        77452367*
42        1734        120949727*
43        1926        205323791*
44        2166        272695991*
45        2214        309514157*
46        2316        323371751*
47        2364        327552287*
48        2454        791845487*
49        2526        853216151*
50        2676        858064421*
51        2784        995688257*
52        2874        1708829387*
53        3084        2319423437*
54        3366        2508630581*
55        3414        2771478287*
56        3444        5855952227*
57        3666        6005133971*
58        3756        9157772411*
59        3996        12832565231*
60        4194        17714067737*
61        4326        17890226111*
62        4476        18146474051*
63        4596        30321072401*
64        4854        40133489717*
65        4986        47561426681*
66        5034        48325636067*
67        5184        66639570857*
68        5616        110772142931*
69        6024        116245326887*
70        6144        182223766007*
71        6336        188197185401*
72        6366        251490408371*
73        6516        259066525631*
74        6726        351979965521*
75        6834        370537904057*
76        7212        396017084807*
77        7296        408039554981*
78        7344        544234820027*
79        7386        607249647971*
80        7602        616269752687*
81        7776        817044609671*
82        7914        1118628800657*
83        8154        1428131336327*
84        8334        2014198022867*
85        8376        2222216567771*
86        8766        2832119130791*
87        9414        3350386398677*
88        9444        3632902213067*
89        9582        4714246565297*
90        9636        4855222034681*
91        9816        6211268863991*
92        9864        7208316053597*
93        10266        8626422251591*
94        10674        12777372127277*
95        10776        13054567008251*
96        10944        15183304615097*
97        11274        17465346872957*
98        11496        19798515921101*
99        11586        24933791788151*
100        12006        27502381886561*
101        12114        37327103171297*
102        12156        42404225900831*
103        12456        59672888136161*
104        13416        62508380144471*
105        13476        67719416524391*
106        13518        75272930420591*
107        13716        75420663006431*
108        13806        82954677746441*
109        13866        91105411429421*
110        13926        93096927935621*
111        14166        115941273508871*
112        14496        120626356782341*
113        14580        121904344135499*
114        14676        203087680763351*
115        14736        238739921301491*
116        15264        262407297881567*
117        15594        291169927432997*
118        15786        369279891946631*
119        16164        370160689147097*
120        16296        377089897308851*
121        16332        533024703519197*
122        16374        545948375436647*
123        16524        583083345952097*
124        16914        646774940494547*
125        17196        857615316296381*
126        17694        1051468174119107*
127        17784        1220085055485137*
128        18024        1236318099553247*
129        18036        1257973014043181*
130        18096        1584571720975721*
131        18624        1604222345157977*
132        18666        1896916545405851*
133        18864        2398774708720967*
134        18924        2601892358185907*
135        19464        2950013171260157*
136        19884        3054904397595227*
137        19926        3673266078170201*
138        20046        4108352135162411*
139        20376        5739292876036451*
140        20694        6395077339586987*
141        21354        8495590924543967*
142        21684        9273809709312947*
143        21954        10139761694816357*

yangchuanju

A052350给出4625组孪生素数对间距和第一次出现的前孪小素数组表——
（第一个数字乘以6计算孪生素数对的间距）
1 5——即间距是6的孪生素数对是5,7和11,13；前孪小素是5；
2 17——即间距是12的孪生素数对是17,19和29,31；前孪小素是17；
3 41
4 617
5 71
6 311
7 2267
8 521
9 1877
10 461
……
4621 33112494775765541
4622 45760568319376709
4623 66653473710455771
4624 40014283870185407
4625 46034953828419929

yangchuanju

孪生素数间距（间隙）表
Twin_gaps.txt

    g             F(g)           T(g)
间距   前孪小素  10^16以内出现频数
    2*                3*            1
    6*                5*  25379433651
   12*               17*  67678531296
   18*               41*  50426117038
   24               617*  31885269993
   30*               71  100067444260
   36*              311   28667284196
   42              2267*  94302845714
   48               521   51694326441
   54              1877   35939326086
   60               461   78588757536
   66              1721   34012388089
……
26670  6997980781862891             1
26724  9993981791330417             1
26790  4723865930164151             1
27066  7488591335716091             1
28140  3210499676820221             1
28392  7356942977890379             1
28842* 2797282815481499             1

yangchuanju

各表中省略未发的数据请直接下载相关网页并查找！

yangchuanju

20个已知的最大孪生素数对列表
Record Primes of this Type
rank        prime        digits        who        when        comment
1        2996863034895×2^1290000-1        388342        L2035        Sep 2016        Twin (p)
2        3756801695685×2^666669-1        200700        L1921        Dec 2011        Twin (p)
3        66982155216384-669821552^8192-1        144605        A18        Apr 2024        Twin (p)
4        22271030616384-222710306^8192-1        136770        A13        Mar 2024        Twin (p)
5        9955858992×11^111111-1        115721        A25        Apr 2025        Twin (p)
6        15898321815×2^333645-1        100448        p364        Jun 2025        Twin (p)
7        65516468355×2^333333-1        100355        L923        Aug 2009        Twin (p)
8        1867513233×2^266698-1        80294        L527        May 2025        Twin (p)
9        201926367×2^266668-1        80284        A25        May 2024        Twin (p)
10        160204065×2^262148-1        78923        L5115        Jul 2021        Twin (p)
11        18936119858192-1893611985^4096-1        76000        A13        Mar 2024        Twin (p)
12        15891732708192-1589173270^4096-1        75376        A22        Feb 2024        Twin (p)
13        9960942348192-996094234^4096-1        73715        A18        Jan 2024        Twin (p)
14        8957215318192-895721531^4096-1        73337        A7        Jan 2024        Twin (p)
15        7955076968192-795507696^4096-1        72915        A5        Jan 2024        Twin (p)
16        6915957608192-691595760^4096-1        72417        A13        Jan 2024        Twin (p)
17        6470208268192-647020826^4096-1        72180        A5        Jan 2024        Twin (p)
18        6298136548192-629813654^4096-1        72084        A5        Jan 2024        Twin (p)
19        5049833348192-504983334^4096-1        71298        A7        Jan 2024        Twin (p)
20        (2^216091-1)×(10^4950-15183422626) - 1        70000        p449        Jul 2025        Twin (p)

https://t5k.org/top20/page.php?id=1

重生888@

东一榔头西一棒头，不知所云！  以下表示什么？

26724  6997980781330417             1
26790  4723865930164151             1
27066  7488591335716091             1
28140  3210499676820221             1
28392  7356942977890379             1
28842* 2797282815481499             1

重生888@

奥，原来是不准复制吧？怪不得乱码！

重生888@

41  59      71   101       它们表示什么？

yangchuanju

A007508-18
Number of twin prime pairs below 10^n.
10^n以内孪生素数对数
1 2
2 8
3 35
4 205
5 1224
6 8169
7 58980
8 440312
9 3424506
10 27412679
11 224376048
12 1870585220
13 15834664872
14 135780321665
15 1177209242304
16 10304195697298
17 90948839353159
18 808675888577436