证明：Ax^2+Bxy+Cy^2=D的面积为 2πD/√(4AC-B^2)

Ysu2008

若二次曲线 \(Ax^2+Bxy+Cy^2=D\)为椭圆(\(4AC-B^2>0\))，证明其面积为 \(\frac{2\pi D}{\sqrt{4AC-B^2}}\)

wilsony

挺难的。

Nicolas2050

高中知识足够，北大强基2025斜椭圆面积问题已考。其中还需确定D>0.才有意义。

Nicolas2050

给个参考过程。

shuxuestar

      对方程任意一对（x，y ），令x'=-x，椭圆方程ax^2+bxy+cy^2-d=0  必对应唯一 y'=-y ；证明曲线为坐标系中心对称图形.......

为确定椭圆的长短距a，b，可假设一中心圆与曲线相交，存在最大值和最小值即相切与椭圆，就确定了a，b的值，直接可以π*ab算出面积.

Ysu2008

【解】极坐标最值法
将\(\begin{cases}
x=\rho\cos\theta\\
y=\rho\sin\theta
\end{cases}\)代入\(Ax^2+Bxy+Cy^2=D\)化为极坐标方程\(\rho=\sqrt{\frac{D}{A\cos^2\theta+B\cos\theta\sin\theta+C\sin^2\theta}}\)

再将极坐标方程的分母化为一个三角函数，以方便求最大最小值
\(\rho=\sqrt{\frac{D}{A\cos^2\theta+B\cos\theta\sin\theta+C\sin^2\theta}}=\sqrt{\frac{\ D}{A\frac{1+\cos2\theta}{2}+B\frac{\sin2\theta}{2}+C\frac{1-\cos2\theta}{2}}}\)
\(=\sqrt{\frac{\ 2D}{A+A\cos2\theta+B\sin2\theta+C-C\cos2\theta}}=\sqrt{\frac{\ 2D}{A+C+\left( A-C\right)\cos2\theta+B\sin2\theta}}\)
\(=\sqrt{\frac{\ 2D}{A+C+\sqrt{\left( A-C\right)^2+B^2}\cos\left( 2\theta+\phi\right)}}\)

椭圆长半轴 \(a=\max\left( \rho\right)=\sqrt{\frac{\ 2D}{A+C-\sqrt{\left( A-C\right)^2+B^2}}}\)
椭圆短半轴 \(b=\min\left( \rho\right)=\sqrt{\frac{\ 2D}{A+C+\sqrt{\left( A-C\right)^2+B^2}}}\)

椭圆面积 \(S=\pi ab=\pi\sqrt{\frac{\ 2D}{A+C-\sqrt{\left( A-C\right)^2+B^2}}}\cdot\sqrt{\frac{\ 2D}{A+C+\sqrt{\left( A-C\right)^2+B^2}}}\)
\(=\frac{2\pi D}{\sqrt{\left( A+C\right)^2-\left[ \left( A-C\right)^2+B^2\right]}}=\frac{2\pi D}{\sqrt{4AC-B^2}}\)