平面几何的学与思 62 ——等腰三角形一题多解之截取法

luyuanhong

平面几何的学与思 62 ——等腰三角形一题多解之截取法

原创  太阳元素  太阳元素  2025 年 08 月 29 日 23:23  广东

前面做了几道等腰直角三角形的几何题，接下来聊聊一般等腰三角形的解题思路。

题 62 ：

在 ΔABC 中，AB＝AC ，D 为 BC 边上一点，E 为 AD 上一点，且满足 ∠BED＝2∠CED＝∠BAC ，求证：BD＝2CD 。


             原图

      这是一道经典的等腰三角形的练习题，有多种证明方法，之前试了延长法和面积法，这次看看截取法——参考《平面几何的学与思 57 ——浅谈证明几何等式的截取法》，这是证明几何等式的几种常用方法。


               解题图                                  

截取法：

证：在 BE 上取点 H ，使得 EH=AE ，

则 ∠AHE＝∠BAH ＝∠BED/2＝∠CAB/2＝∠CED ，

  ∠AHB＝∠AEC

∵ ∠ABH＝∠BAE ＝∠BAC -∠BAD ＝∠CAE

∴  ΔABH ≌ ΔCEA

∴  BH＝AE＝HE ，

    AH＝CE

ΔAEH，正弦定理得：

(AH/ sin∠AEH)＝(HE / sin∠HAE)

∵ ∠AEH＝180°- 2∠HAE

∴  sin∠AEH＝sin（2∠HAE)

即，EC＝AH＝BE × cos(∠BAC /2)，

其余同面积法。

截取法二（此法为其他网友提供）



证：在 BE 上 作 BF＝AE ，过 F 作 FG∥AD 与 ∠BED 的平分线交于点 G ，交 BD 于 H ，

∵ ∠BED＝∠BAC

∴ ∠ABE＝∠EAC

∵ AB＝AC，

∴  ΔABF ≌ ΔCAE

∴  ∠AFE＝∠CED

∵ ∠BED＝2∠CED

∴ ∠AFE＝∠FAE，AE＝FE

F 是 BE 中点，

EG 平分 ∠BED

∴  ∠GED＝∠FAE

∴  EG∥AF

∴ 四边形 AFGE 是平行四边形，

   EG＝AF＝CE

∴ ΔCAE ≌ ΔGAE

∴ AD是CG中垂线

∵ FG∥AD，D 是 HC 中点

   F 是 BE 中点

∴ H 是 BD 中点，BD＝2CD

太阳元素