孪生素数分布规律探索

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孪生素数分布规律探索       
                       
正整数按每行6数排列如下——                                       
表1——正整数排列表：                                       
列1        列2        列3        列4        列5        列6
1        2        3        4        5        6
7        8        9        10        11        12
13        14        15        16        17        18
19        20        21        22        23        24
25        26        27        28        29        30
31        32        33        34        35        36
37        38        39        40        41        42
43        44        45        46        47        48
49        50        51        52        53        54
55        56        57        58        59        60
61        62        63        64        65        66

任意看出，列2、列4。列6都是偶数，其中只有一个素数2；
列3都是3的倍数，内只有一个3是素数。
列1、列5都是奇数——与6互素的奇数，内含除2和3以外的全部素数。

现在我们只关心表1中的列1、列5两列与6互素的奇数，再配上列6得一个新表——
表2——与6互素的奇数表
列1        列2        列3
5        6        7
11        12        13
17        18        19
23        24        25
29        30        31
35        36        37
41        42        43
47        48        49
53        54        55
59        60        61
65        66        67
71        72        73
77        78        79
83        84        85
89        90        91
95        96        97
               
从表2任意看出，列1和列3之中含有除1和3以外的所有奇数，2和3以外的所有素数，它们都是与6互素数的，               
所有孪生素数对均分布在表2的列1和列3中，令列2中的数字是6k，则所有孪生素数对都可表示为6k±1，k≥1。               

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与30互素的奇数表
与30互素的30以内的正整数有8个——1,7,11,13,17,19,23,29，其中除1以外都是素数；
将整数1换成31得表3。
表3——与30互素的奇数表
列1        列2        列3        列4        列5        列6        列7        列8
7        11        13        17        19        23        29        31
37        41        43        47        49        53        59        61
67        71        73        77        79        83        89        91
97        101        103        107        109        113        119        121
127        131        133        137        139        143        149        151
157        161        163        167        169        173        179        181
187        191        193        197        199        203        209        211
217        221        223        227        229        233        239        241

表3之中含有除2,3,5以外的所有素数，所有孪生素数对都分布在列2 列3；列4 列5；列7 列8之中；
然而列2 列3；列4 列5；列7 列8之中的整数不全是素数，许多数对不是孪生素数对；没有关系，我们在这里给它们起一个专用名词——（与30互素的）孪生互素数对。
列1、列5中也有许多素数，它们都不是孪生素数，在这里暂不理睬。
3类孪生素数对可表示为30k+12±1、30k+18±1（k≥0）及30k±1（k≥1）的形式。

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表4——与210互素的奇数表                                                               
与210互素的210以内的正整数有48个——1,7,11,13,17,19,23,29；31,37,41,43,47,49,53,59；……209，将其中的1换成211排到表的最后一列中；                                                               
列1        列2        列3        列4        列5        列6        列30        列47        列48
11        13        17        19        23        29        137        209        211
221        223        227        229        233        239        347        419        421
431        433        437        439        443        449        557        629        631
641        643        647        649        653        659        767        839        841
851        853        857        859        863        869        977        1049        1051
1061        1063        1067        1069        1073        1079        1187        1259        1261
1271        1273        1277        1279        1283        1289        1397        1469        1471
1481        1483        1487        1489        1493        1499        1607        1679        1681
1691        1693        1697        1699        1703        1709        1817        1889        1891
1901        1903        1907        1909        1913        1919        2027        2099        2101
2111        2113        2117        2119        2123        2129        2237        2309        2311

表5——与210互素的孪生互素数对表                                               
表4太宽，删除其中的一些不含孪生素数对的列得表5。                                               
列1        列2        列3        列4        列5        列6        列30
11        13        17        19        29        31        211
221        223        227        229        239        241        421
431        433        437        439        449        451        631
641        643        647        649        659        661        841
851        853        857        859        869        871        1051
1061        1063        1067        1069        1079        1081        1261
1271        1273        1277        1279        1289        1291        1471
1481        1483        1487        1489        1499        1501        1681
1691        1693        1697        1699        1709        1711        1891
1901        1903        1907        1909        1919        1921        2101
2111        2113        2117        2119        2129        2131        2311

yangchuanju

如果还嫌表宽，可以只显示其中的单数列及30列，变成16列宽表。
列1        列3        列5        列7        列9        列11        列13        列15        列17        列19        列21        列23        列25        列27        列29        列30
11        17        29        41        59        71        101        107        137        149        167        179        191        197        209        211
221        227        239        251        269        281        311        317        347        359        377        389        401        407        419        421
431        437        449        461        479        491        521        527        557        569        587        599        611        617        629        631
641        647        659        671        689        701        731        737        767        779        797        809        821        827        839        841
851        857        869        881        899        911        941        947        977        989        1007        1019        1031        1037        1049        1051
1061        1067        1079        1091        1109        1121        1151        1157        1187        1199        1217        1229        1241        1247        1259        1261
1271        1277        1289        1301        1319        1331        1361        1367        1397        1409        1427        1439        1451        1457        1469        1471
1481        1487        1499        1511        1529        1541        1571        1577        1607        1619        1637        1649        1661        1667        1679        1681
1691        1697        1709        1721        1739        1751        1781        1787        1817        1829        1847        1859        1871        1877        1889        1891
1901        1907        1919        1931        1949        1961        1991        1997        2027        2039        2057        2069        2081        2087        2099        2101
2111        2117        2129        2141        2159        2171        2201        2207        2237        2249        2267        2279        2291        2297        2309        2311

所有孪生素数对都分布在这个表格中，若要筛选出真正的孪生素数对，再从中剔除不是11,13,17,19……47的倍数数即可。
2310以内的孪生素数共70对，上表中共15*11=165对。
15类孪生素数对可表示为210k+12±1、+18±1、+30±1、+42±1、+60±1、+72±1、+102±1、+108±1、+138±1、+150±1、+168±1、+180±1、+192±1、+198±1（k≥0）及210k±1（k≥1）的形式。

yangchuanju

将表2，表3，表5向下无限延长，各表中的相关孪生素数对的列中应该都有无穷多对孪生素数对（分别为1,3,15个双列），尽管向下延伸后孪生素数对出现的几率越来越小。
用与6互素的数表示时是6k±1，k≥1；
用与30互素的数表示时是30k+12±1、30k+18±1（k≥0）及30k±1（k≥1）；
用与210互素的数表示时是210k+12±1、+18±1、+30±1、+42±1、+60±1、+72±1、+102±1、+108±1、+138±1、+150±1、+168±1、+180±1、+192±1、+198±130k+12±1、30k+18±1（k≥0）及210k±1（k≥1）。
在用与2310、30030、510510、9699690……互素的数表示时分别用135、1485、22275、378675……种不同的结构形式。
更大的互素数系统中的孪生互素数对对数参见下表最后一列数字。
p        p#        (p-1)累乘积        (p-2)累乘积
3        6        2        1
5        30        8        3
7        210        48        15
11        2310        480        135
13        30030        5760        1485
17        510510        92160        22275
19        9699690        1658880        378675
23        223092870        36495360        7952175
29        6469693230        1021870080        214708725
31        2.0056E+11        30656102400        6226553025
37        7.42074E+12        1.10362E+12        2.17929E+11
41        3.0425E+14        4.41448E+13        8.49924E+12
43        1.30828E+16        1.85408E+15        3.48469E+14
47        6.1489E+17        8.52877E+16        1.56811E+16

cuikun-186

杨老师您好：

我证明了孪生间隔平方之间至少有2对孪生素数，

您能否给出可知范围内的具体数据？

非常感谢杨老师对于我的每次请求，您都不辞劳苦，

再次表示感谢！

……………

对于孪生素数:p,p+2，则p^2~(p+2)^2]区间至少有2对孪生素数。

证明：

根据崔坤证明了的⊿=0.8487*p/(lnp)^2【https://idea.cas.cn/zhhh/sxwlhxytw/sx/info/2025/552012.html】

要使得⊿为严格单调增函数，则p>e^2,

所以满足⊿>0的最小的孪生素数是：（11，13）；

故：⊿最小值是0.8487*11/(ln11)^2≈1.62

由于⊿为整数，故有⊿最小值2

证毕。（崔坤于2025年09月03日于即墨）

注释：这是经典之作！

yangchuanju

p#±1不能被不大于p的全部素数整除，若p#+1或p#-1是合数，则它们之中一定含有比已知大素数p的还要大的素数；若p#+1或p#-1是素数，则它一定是一个比p#大1或小1的大素数；不管是哪种情况，一个比p大的素数被找到，这就是素数无穷多的正规的证明。
然而p#+1和p#-1不一定都是素数，故不能用这种方法证明孪生素数无穷多。当然这样的孪生素数对还是有几个，如3#±1、5#±1、11#±1。
k*p#±1（k≥1）也不能被不大于p的全部素数整除，但k*p#+1和k*p#-1可能都是含比p还要大素因子的合数；也可能都是与p#大小相当的素数，或一素一合；
若k*p#+1和k*p#-1都是素数，则它一定是一对大孪生素数，虽几率不大，但也有一些；许多大孪生素数对都是这种形式的。
经用k=1--10万，p=3,5,7,11,13,17,19,23,29进行分解检验，分别有
k*p#±1        k*3#±1        k*5#±1        k*7#±1        k*11#±1        k*13#±1        k*17#±1        k*19#±1        k*23#±1        k*29#±1
对数        5330        6951        7376        6842        6172        5459        4810        4272        3663
几率%        5.33        6.951        7.376        6.842        6.172        5.459        4.81        4.272        3.663
由于这里的p都不是很大，故几率仍都在百分之几。                                                                       

具体的孪生素数对日后再发。

yangchuanju

已经算得k=1--10万时30k±1的全部孪生素数对6951组，现再算一算k=0-99999时30k+11，+13；+17，+19时的孪生素数对。
计算知，30k+11，+13；+17，+19之中分别有6993和6986对孪生素数，与30k±1的6951对大致相等。

yangchuanju

在k*p#±1中含有较多的孪生素数对，在k*p#加上其它孪生互素数对也是这样，含有一定比例的孪生素数对。
各种结构表达式中的孪生互素数对共有4种不同的组合——素素、素合、合素、合合，具体数量各不相同；
随着k的不断增大，素素几率变小，合合几率变大。
例210k+12±1即210k+11和210k+13（k≥0）中孪生素数对多多，当k取1-2000时，11列中有749个素数，13列中有733个素数，内273个孪生素数对——（表中1表示素数，0表示合数，2表示素数对）
k        210k+11        210k+13        分解式1        分解式2        749        733        273
0        11        13        11 is prime         13 is prime         1        1        2
1        221        223        221=13*17        223 is prime         0        1        1
2        431        433        431 is prime         433 is prime         1        1        2
3        641        643        641 is prime         643 is prime         1        1        2
4        851        853        851=23*37        853 is prime         0        1        1
5        1061        1063        1061 is prime         1063 is prime         1        1        2
……
1999        419801        419803        419801 is prime         419803 is prime         1        1        2
2000        420011        420013        420011=263*1597        420013=11*38183        0        0        0

yangchuanju

10-10^5以内孪生素数对数                       
数字        30k±1        30k+11,13        30k+17,19
10        6        5        5
100        25        30        24
1000        152        158        155
10000        988        993        1011
100000        6951        6993        6986

10-10^5以内孪生素数对数                                                                       
数字        k*3#±1        k*5#±1        k*7#±1        k*11#±1        k*13#±1        k*17#±1        k*19#±1        k*23#±1        k*29#±1
10        5        6        2        3        2        1        0        1        0
100        25        25        18        17        20        12        7        12        5
1000        142        152        142        127        99        83        72        53        50
10000        810        988        1016        900        734        663        595        525        440
100000        5330        6951        7376        6842        6172        5459        4810        4272        3663