他们用一生诠释了不完备定理

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他们用一生诠释了不完备定理

原创  蔡驰南  蔡爸谈数学  2025 年 08 月 30 日 12:13  浙江

库尔特·哥德尔（Kurt Friedrich Godel）是一位天才逻辑学家，他 24 岁时（1930 年）就提出了不完备定理，将无冕之王希尔伯特的宏大纲领击得粉碎，然而在此后近五十年里他一直深居简出，几乎没有发表什么重要的论文。事实上他一直保持思考，笔耕不辍。那么他究竟是做出了重要的成就秘而不发，还是发生了什么不同寻常的事，今天我们就来揭秘天才数学家哥德尔和他的妻子阿黛尔（Adele Nimbursky）的故事。


哥德尔与阿黛尔

哥德尔出生于 1906 年，属于奥地利的一个上流社会家庭，生活富足，有良好的家庭教养。而他的妻子则是一位大他 6 岁的舞女，几乎没有念过书，而且在认识哥德尔之前还离过一次婚。

两人无论是家庭背景，还是生活圈子，都似乎不在同一个世界，他们的婚姻也遭到家庭的反对，但他们却厮守了五十年，而且阿黛尔一度成为哥德尔一生最信任的人。

哥德尔是一位数学天才，具有一种与生俱来的细致与精确，作为服装厂老板的儿子，他的着装永远一丝不苟，但他同时又敏感脆弱，甚至有点软弱。这位逻辑学天才，一生都在追求自洽，非常不愿意面对矛盾，尤其在人生道路上，遇到不可调和的矛盾，往往选择逃避，很多时候，是勇敢的阿黛尔助他渡过难关。



哥德尔生不逢时，在一战与二战的动荡年代，他亲历了奥地利被德国吞并，他的犹太人朋友被纳粹迫害，好友施里克（Moritz Schlick）被激进分子枪杀。

这让本就精神高度紧张的他，一度崩溃，并终生患有迫害妄想症和抑郁症。在家乡维也纳时，他就曾入院治疗，幸而有阿黛尔的照顾，才能踏上前往美国普林斯顿的旅程。

阿黛尔从小学芭蕾舞，但为生活所迫不得不做舞女，一路摸爬滚打，顽强生长，在生活中积累人生智慧。她虽然没有念过什么书，但却很聪明，她可以从哥德尔通俗的逻辑学讲解中，获得启发，提出一些很有意思的看法。在普林斯顿时，甚至还能与爱因斯坦成为朋友，相谈甚欢。



哥德尔的精神疾病，也许是天才的代价。

爱因斯坦说他晚年在普林斯顿高等研究院上班，“只是为了有幸与哥德尔一起散步回家”。爱因斯坦与哥德尔能成为忘年交，除了在哲学、数学、物理学等方面的相互启发外，也许还与哥德尔的精神疾病有关。

爱因斯坦最聪明的儿子爱德华，在 19 岁时患精神疾病，并终生遭受折磨，所以爱因斯坦与哥德尔不仅仅是朋友，更像是父子，爱因斯坦多少会比其他人更同情与理解哥德尔。


哥德尔与爱因斯坦在普林斯顿

因见识过家乡被独裁统治者给毁了，哥德尔到普林斯顿后，就决心加入美国籍，在爱因斯坦的陪同下参加了入籍听证会（1947 年 12 月 5 日）。

在听证会上哥德尔表示，美国的宪法有缺陷，可以通过合法手段让它变成独裁国家。好在爱因斯坦与法官有旧交，及时打断了哥德尔已经开始的证明，哥德尔才有惊无险地获得了美国国籍。

当时爱因斯坦等人对哥德尔的洞见一笑置之，结果仅仅过去了 7 年（1954 年），就发生了哥德尔所预言的极端情况——奥本海默事件。

美国笼罩在麦卡锡主义的阴云之下，以向苏联泄密为由，对“原子弹之父”奥本海默进行安全调查等一系列政治迫害。

爱因斯坦因此大发雷霆，不顾可能被监听的风险，表达了自己的极度不满，力挺奥本海默。

哥德尔也罕见地在好友聚会上表示：“奥本海默不是第一例，历史上伟大的科学家一直遭权力阴谋迫害，伽利略、布鲁诺、莱布尼茨……”因为，莱布尼茨是哥德尔的偶像，所以他一直将莱布尼茨遭到牛顿的攻击视为政治迫害。

9 年后（1963 年）肯尼迪总统决定向奥本海默颁发费米奖，视为对他的平反，但同一年肯尼迪总统就遭刺杀。直到 2022 年，美国政府才正式撤销当年取缔奥本海默安全许可的决定。

随着爱因斯坦的去世（1955 年），冯·诺依曼的去世（1957 年），奥本海默遭到政治迫害（1954 年），哥德尔身边可以信任的人越来越少，最后只剩下了他的妻子阿黛尔。


左四：哥德尔，右二：奥本海默，右四：爱因斯坦

一开始，有不少人认为是阿黛尔毁了哥德尔，一位舞女让一位天才从此变得默默无闻。但了解了哥德尔到达普林斯顿后的生活状态，就会意识到，阿黛尔才是那位让天才能活下去的伟大女性。

哥德尔一直有严重的强迫症，每天只吃很少一点东西，而且只吃阿黛尔做的食物，他一直怀疑有人要毒杀他。他认为所有的医生都是庸医，他吃自己配置的药，来对抗胃溃疡，而且完全不听劝。一些亲戚朋友发现，他们甚至无法忍受与哥德尔生活一天，但这样的生活阿黛尔在普林斯顿过了四十年，正是在她的耐心与关爱下，哥德尔没有因精神疾病再次住院和崩溃。


在普林斯顿的哥德尔与阿黛尔

事实上，哥德尔在证明了不完备定理后，并没有沉寂。不完备定理属于希尔伯特 23 个数学问题的第 2 个问题“算术公理的相容性问题”，之后哥德尔一直在试图解决第 1 个问题“连续统假设”。

这是由康托尔提出的关于无穷集合大小的一个猜想：不存在一个基数（集合的“大小”）严格大于可数集（如自然数集），且严格小于实数集（也称为连续统）的集合。



虽然这个问题后来被保罗·科恩（Paul Cohen）部分解决，但是当哥德尔看到这位后辈采用“力迫法”时，觉得并不简洁优雅，而哥德尔留下的手稿中也显示了他已经对这个问题有很深的见解。这位一生追求完美的逻辑学家，在没有完全解决前，是不会发表论文的。

1940 年哥德尔就指出连续统假设不能在 ZFC 系统（是指加上选择公理的一种常见的公理化集合论）下证否，科恩在 1963 年证明了连续统假设同样不能在 ZFC 下被证明。因此，连续统假设独立于 ZFC ，它不能在 ZFC 内部被证明或证伪。

哥德尔的另一项成就则是关于证明上帝存在的“本体论证明”（Ontological Argument）。哥德尔晚年时，兴趣已经由数学转向哲学，而他所谓的“本体论证明”也在普林斯顿流传了一阵，后在他的遗稿中找到，不过他从没有公开发表过。


哥德尔关于本体论证明的手稿

在阿黛尔中风住院后，哥德尔就很少进食，朋友给他带来食物，他都不吃，最后他几乎是活活饿死的。

哥德尔的一生就如同他的成名作不完备定理，在一个公理体系中，总会有一些问题无法被证明，哥德尔的精神状况就是依靠他自己的才华无法解决的问题，而这类问题往往需要在系统中增加新的公理才能解决，而这个新的公理就是学术圈之外的阿黛尔。

哥德尔与阿黛尔不同寻常的一生，让人惊叹，也令人唏嘘。

也许正如哥德尔的好友冯·诺依曼所说：“如果人们不相信数学很简单，那只是因为他们没有意识到生活有多复杂。”



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《理解哥德尔：数学与爱》| 图灵新知

《理解哥德尔：数学与爱》是一部根据史实改编的小说，但从中可以看到哥德尔与阿黛尔令人惊叹的一生，作者从人生的角度诠释了哥德尔的成名作——不完备定理。该书如同《美丽心灵》，用独特的方式讲述了数学家的浪漫人生。如果改编成电影，应该会像《阿甘正传》一样，具有层次丰富的画面感：前景是哥德尔一家与爱因斯坦等普林斯顿朋友的用餐与对话，背景则是宏大的历史变迁——二战胜利、奥本海默事件、肯尼迪遇刺等等。书中的对话很有启发意义，金句不断。有过一定的人生经历，可能会更有感触。

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