泰勒还是欧拉？一道题目的两种截然不同的证明！看微积分与复分析如何解决同一个问题！

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泰勒还是欧拉？一道题目的两种截然不同的证明！看微积分与复分析如何解决同一个问题！

原创  泽华考研竞赛数学  泽华学长  2025 年 09 月 01 日 18:00  陕西

前言



题目



分析

●  考虑使用泰勒展开，因为右边是幂级数形式。计算函数在处的各阶导数，找出规律。

●  另一种思路是利用欧拉公式将正弦函数用指数函数表示，然后利用指数函数的泰勒展开，通过复数运算化简。

解析

方法一（泰勒展开法）



方法一点评

这是函数展开成幂级数的标准方法。它直接从函数的导数性质出发，逻辑链条清晰：求导 -> 找规律（用归纳法）-> 计算在零点系数 -> 写泰勒级数 -> 证明余项收敛于零。每一步都是微积分中的经典操作。

●  通用性强

这种方法具有普适性。理论上，任何光滑函数都可以尝试用这种方法展开，不依赖于任何特殊的技巧或额外的数学工具。它是解决这类问题的“万能钥匙”之一。

这个过程完美地融合了求导技巧、数学归纳法的使用以及余项估计（极限与级数收敛性的判断），比较考察大家的基本功。

注



方法二（复数法）



方法二点评



注

这个方法门槛较高，需要大家熟悉复数、欧拉公式等概念，并接受在实数问题中使用复数工具的这一“骚操作”。对于只学过微积分而未接触复变函数的同学来说，这种方法可能显得突兀和难以理解。

●  有局限性

这种方法的神来之笔依赖于 sinx 可以写成复指数的差。虽然许多三角函数问题都可以这样处理，但其普适性不如泰勒展开法。它是一种“奇招”而非“正招”。

方法二是巧妙的、深刻的、体现数学“洞察力”和“统一性”的方法，它将一个复杂问题化归为一个更简单的问题，也是值得大家学习的一种方法。

两种方法各有千秋。泰勒展开法直接但计算稍显复杂，需要找到高阶导数的通项公式。复数方法巧妙地利用了欧拉公式，将实数问题转化为复数问题，简化了计算，但需要熟悉复数的指数表示和运算。

推广

题目



解析



泽华学长