未名湖畔的数学陷阱：我们拆解了北大这道“条件收敛”的经典考题！

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未名湖畔的数学陷阱：我们拆解了北大这道“条件收敛”的经典考题！

原创  泽华考研竞赛数学  泽华学长  2025 年 09 月 08 日 10:00  陕西

前言

北大考研题中的数学之美：当正弦函数遇见瑕积分！

在数学的星空中，总有一些问题如同璀璨的星辰，照亮着求知者的道路。今天我们要探讨的这道题，来自北京大学数学科学学院的考研真题，它看似简单，却蕴含着丰富的数学思想。

这道题要求判断积分



的收敛性。表面上只是一个瑕积分的判别问题，实则是一场微积分基本技巧的盛宴。

它巧妙地将三角函数、幂函数和无穷积分结合在一起，既考察了泰勒展开的运用，又检验了收敛性判别的功底。更精妙的是，这道题还隐藏着一个深刻的数学现象：在无穷远处，看似发散的振荡函数却能够通过巧妙的相互抵消达到某种"危险的平衡"，这正是条件收敛的精髓所在。

北大数学系以其严谨和深邃著称，这道题正是这种风格的完美体现。它不仅测试了考生的计算能力，更重要的是考察了对数学本质的理解—为什么有些积分"几乎"发散却最终收敛？为什么绝对收敛比条件收敛要求更严格？

跟随我们的脚步，一起解开这道题的神秘面纱，感受数学分析中收敛与发散的微妙舞蹈，体会北大数学考题的独特魅力。

题目



分析



解析



点评



推广

题目



解析



这道题目源自北京大学数学分析考研真题，题目很好，但我觉得应该不算太难吧！

泽华学长