用三色对四面体面、边、顶点着色，各面与其边不同色，各边与其端不同色，有几种方式？

雪王子

用红色、绿色和蓝色对四面体的面、边和顶点进行着色，要求每个面与其任何一条边颜色不同，且每条边与其任何端点颜色不同，问有多少种着色方法？（旋转和反射被视为不同的着色方式。）

PS：我感觉可以把这个四面体看做二部图，4个顶点和4个面作为左部，6条边作为右部，然后用三种颜色给二部图的『顶点』涂色，要求相邻顶点的颜色不同。接下来就不知道怎么算了，编程运行的结果是1800。

lihp2020

每个面与其任何一条边颜色不同  没有说对应相邻的
每条边与其任何端点颜色不同 也没说 这个边所对应的点
那么 就是 4点 6线  4面 之间的关系

4面  如果有1色选择  那线 就剩下2色可以选择 如果选择了2 色 那么点 也就只有唯一的颜色可以选择了

终结分析
面 线 点 包含颜色列表
有
1 1 1
1 1 2
2 1 2
2 1 1
1 2 1

其实没得啥4面就占了3个色之类
或者 面占2色 线也占2色的 或者  线占2色的 点也占2色

每个单独分析

1 1 1  结果是 3*2 *2
1 1 2            3*2*（2^4-2）
2 1 2         3* (2^4-2）*1*（2^4-2）
2 1 1          3*(2^4-2）*1*2
1 2 1       3*(2^6-2）*1

最终结果 就是右边求和
简单解释一下这个
2 1 2         3* (2^4-2）*1*（2^4-2）
这个表示 面用2色 线用1色 点用2色

面用2色 选两种颜色出来 3种可能  这两个色 填4个面 2^4 排除同色 -2 结果就是 3* (2^4-2）
线用1色 当面用了2色 线就只有唯一的选择 *1
点用2色  点的两色也是确定的  填4个点 2^4 排除同色 -2 结果就是* (2^4-2）

雪王子

lihp2020 发表于 2025-9-13 16:18
每个面与其任何一条边颜色不同  没有说对应相邻的
每条边与其任何端点颜色不同 也没说 这个边所对应的点 ...

好像题意就是要求每个面和对应的边不相等，每个边和对应的顶点不同

雪王子

**情况1：四个端点颜色相同**  
此类端点着色方案有3种（全红、全绿或全蓝）。  
下面计算有效的棱和面着色方案数：  
设端点的颜色为 \(a\)，另外两种颜色分别为 \(b\)，\(c\)。  
① 若四个面全为 \(a\) 色，则四条边和相邻面均为 \(a\) 色，边可在 \(b,c\) 中选，选法数为 \(2^6\)。  
② 若四个面有1个为 \(a\) 色、3个为 \(b\) 色，面涂色方法数为 \(\binom{4}{1}\)。此时6条边必与 \(b\) 色面相邻且端点为 \(a\) 色，只能选 \(c\) 色，总数为 \(\binom{4}{1} \times 1\)。  
③ 同理，1个 \(a\) 色、3个 \(c\) 色的选法数为 \(\binom{4}{1} \times 1\)。  
④ 若四个面有2个 \(a\) 色、2个 \(b\) 色，面涂色方法数为 \(\binom{4}{2}\)。此时2个 \(b\) 色面有5条边（含公共边），必为 \(c\) 色；剩余1条边可选 \(b\) 或 \(c\) 色（2种），总数为 \(\binom{4}{2} \times 2\)。  
⑤ 同理，2个 \(a\) 色、2个 \(c\) 色的选法数为 \(\binom{4}{2} \times 2\)。  
⑥ 若四个面有3个 \(a\) 色、1个 \(b\) 色，面涂色方法数为 \(\binom{4}{1}\)。\(b\) 色面的3条边必为 \(c\) 色；剩余3条边可在 \(b,c\) 中选，选法数为 \(2^3\)，总数为 \(\binom{4}{1} \times 2^3\)。  
⑦ 同理，3个 \(a\) 色、1个 \(c\) 色的选法数为 \(\binom{4}{1} \times 2^3\)。  
⑧ 若四个面全为 \(b\) 色，则四条边必为 \(c\) 色，选法数为1。  
⑨ 同理，全为 \(c\) 色的选法数为1。  
⑩ 若面包含 \(b,c\) 两种颜色，则 \(b,c\) 色面的公共边因端点为 \(a\) 色且相邻面颜色冲突，无有效方案。  
综上，有效方案数为：  
\[2^6 + \left( \binom{4}{1} \times 1 + \binom{4}{2} \times 2 + \binom{4}{1} \times 2^3 + 1 \right) \times 2 = 162\]  
此类总计：\(3 \times 162 = 486\)。

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**情况2：三个端点颜色相同，一个端点颜色不同**  
此类端点着色方案数为 \(\binom{4}{1} \times \mathrm{A}_{3}^{2} = 24\) 种。  
设三个同色端点为 \(b\) 色，另一端点为 \(a\) 色。以 \(a\) 色端点为顶点分析：  
- 三条侧棱端点为 \(a,b\) 色，必为 \(c\) 色；底边端点为 \(b\) 色，可选 \(a\) 或 \(c\) 色。  
① 若底边全为 \(c\) 色（6条边全 \(c\)），每个面可涂 \(a,b\) 色（\(2^4\) 种）。  
② 若底边有1条 \(a\) 色、2条 \(c\) 色，涂色方法数为 \(\binom{3}{1}\)。此时 \(a\) 色底边所在2个面因含 \(a,c\) 色边，只能涂 \(b\) 色；剩余2个面全 \(c\) 色边，可涂 \(a,b\) 色（\(2^2\) 种），总数为 \(\binom{3}{1} \times 2^2\)。  
③ 若底边有2条 \(a\) 色、1条 \(c\) 色，涂色方法数为 \(\binom{3}{1}\)。此时2个 \(a\) 色底边所在3个面只能涂 \(b\) 色；剩余1个面全 \(c\) 色边，可涂 \(a,b\) 色（2种），总数为 \(\binom{3}{1} \times 2\)。  
④ 若底边全为 \(a\) 色，则侧面含 \(a,c\) 色边，只能涂 \(b\) 色；底面全 \(c\) 色边，可涂 \(a,b\) 色（2种）。  
综上，有效方案数为：  
\[2^4 + \binom{3}{1} \times 2^2 + \binom{3}{1} \times 2 + 2 = 36\]  
此类总计：\(24 \times 36 = 864\)。

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**情况3：两对端点颜色相同且两对颜色不同**  
此类端点着色方案数为 \(\binom{4}{2} \times \mathrm{A}_{3}^{2} = 18\) 种。  
设 \(A,B\) 为 \(a\) 色，\(C,D\) 为 \(b\) 色。分析边：  
- \(AC,AD,BC,BD\) 边端点为 \(a,b\) 色，必为 \(c\) 色；  
- \(AB\) 边端点全 \(a\) 色，可涂 \(b,c\) 色；\(CD\) 边端点全 \(b\) 色，可涂 \(a,c\) 色。  
① 若 \(AB,CD\) 全涂 \(c\) 色（6条边全 \(c\)），每个面可涂 \(a,b\) 色（\(2^4\) 种）。  
② 若 \(AB\) 涂 \(b\) 色、\(CD\) 涂 \(c\) 色，则 \(AB\) 所在2个面因含 \(b,c\) 色边，只能涂 \(a\) 色；剩余2个面全 \(c\) 色边，可涂 \(a,b\) 色（\(2^2\) 种）。  
③ 同理，\(AB\) 涂 \(c\) 色、\(CD\) 涂 \(a\) 色时，总数为 \(2^2\)。  
④ 若 \(AB\) 涂 \(b\) 色、\(CD\) 涂 \(a\) 色，则 \(AB\) 所在2个面涂 \(a\) 色，\(CD\) 所在2个面涂 \(b\) 色，总数为1。  
综上，有效方案数为：  
\[2^4 + 2^2 + 2^2 + 1 = 25\]  
此类总计：\(18 \times 25 = 450\)。

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**情况4：两对端点颜色不同且另两对颜色各不相同**  
设 \(A,B\) 为 \(a\) 色，\(C\) 为 \(b\) 色，\(D\) 为 \(c\) 色。此时：  
- \(AC\) 边必为 \(c\) 色，\(AD\) 边必为 \(b\) 色，\(CD\) 边必为 \(a\) 色；  
- 面 \(ACD\) 三边颜色互异，无论涂何色均冲突，故此类情况不存在。

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**总计**  
所有情况总数之和为：  
\[486 + 864 + 450 + 0 = 1800\]