欧拉儿子在华林问题中提出 经验公式取整分析

朱容仟

四平方和定理
在三世纪时，数学家丢番图首先提出“是否每一个正整数都是四个平方数之和”的问题。1730年，欧拉开始研究该问题，但未得出证明。[1]
第一个给出完整证明的是拉格朗日，他的证明用了欧拉的一个公式：

后来欧拉也给出另一证明。
华林猜想
1770年，华林发表了《代数沉思录》（Meditationes Algebraicae），其中说，每一个正整数至多是9个立方数之和；至多是19个四次方之和。还猜想，每一个正整数都是可以表示成为至多r个k次幂之和，其中r依赖于k。[1]
研究进展
1909年，大卫·希尔伯特首先用复杂的方法证明了g(k)的存在性。1943年，U.V.林尼克给出了关于g(k)存在性的另一个证明。然而，尽管g(k)的存在性已被证明，人们尚且无法知晓g(k)与k之间的关系。华林自己推测g(2)=4，g(3)=9，g(4)=19。
1770年，拉格朗日证明了四平方和定理，指出g(2)=4。1909年亚瑟·韦伊费列治证明了g(3)=9。
1859年，刘维尔证明了g(4)<=53，他的想法是借助一个恒等式（Liouville polynomial identity）：

后来哈代和李特尔伍德得到g(4)<=21, 1986年巴拉苏布拉玛尼安证明了g(4)=19。1896年马力特得到g(5)<=192；1909年韦伊费列治将结果改进为g(5)<=59；1964年陈景润证明了g(5)=37。[2]
事实上，莱昂哈德·欧拉之子J.A.欧拉猜想： （"[q]"表示"q"的整数部分）。至1990年，对于6<k<471600000此式已经被计算机验证为正确。[3]