RtΔABC 斜边 BC 上一点 D 满足 ∠BAD=60°，且 DC=AB，求证 ∠C=30°

数学小白新

RtΔABC斜边BC上一点D满足∠BAD=60°，且DC=AB，求证∠C=30°。
最好是纯几何法。

shuxuestar

看看即使另一条不是直径:

下端点不动圆周角=60度,上端点在圆上移动, 为保证L=r (截底边线段）上端点不允许有偏移，所以此三角形唯一，题目得证.........



用动态看所有的直角三角形，只有一种符合题意： 两个线段， 一个递增，一个递减，很清楚...........

ataorj

D为BC中点时是明显符合题意的，重点是证明其唯一性。
以D为中心顺时针和逆时针旋转BC都很容易证明AB≠CD，唯一性得证。。

波斯猫猫

ataorj

做BC中点F，显然，角ABF=BAF，当BAF=60度即FD重合时，ABD也=60度。余略。

数学小白新

ataorj 发表于 2025-9-18 10:57
做BC中点F，显然，角ABF=BAF，当BAF=60度即FD重合时，ABD也=60度。余略。

请教：中点F和BAF=60度两者是否能同时定义？

ataorj

能同时定义，但是不完备，只是一个解，没证明唯一性。

ataorj

在AD(延长线上类似，略过)上取一点E，让AE=AB得一正三角形，则角ABC>60，ACB<30=DAC，则CD>AD=AE+DE=CD+DE，则DE<0,这显然错误，可见，ED重合。余略。

波斯猫猫

题：RtΔABC 斜边 BC 上一点 D 满足 ∠BAD=60°，
且 DC=AB，求证 ∠C=30°.

思路：如主帖图，不妨令∠ADB=θ，且BD=a，AB=1，

则AC=√(a^2+2a)，且CD=1.

∴ 1/sinθ=a/sin60°，且1/sin30°=√(a^2+2a)/sinθ.

消去θ整理得a^4+2a^3-3=0，

即(a-1)(a^3+3a^2+3a+3)=0，亦即a=1。

∴ BC=2. 从而∠C=30°.

王守恩

AB = sin(a),   AC = cos(a),   BC = 1,   BD = 1-sin(a),   根据∠A不均分线定理。

sin(30)*cos(a)*(1-sin(a)) = cos(30)*sin(a)*sin(a),   1 = 2sin(a),   a = 30 = C。