在 ΔABC 中，已知 tanA，tanB，tanC 都是整数， 求 tanA+tanB+tanC

波斯猫猫

在△ABC中，a＜b＜c，且tanA，tanB，tanC
都是整数，求tanA+tanB+tanC(原题).

在△ABC中，tanA，tanB，tanC都是整数，
求tanA+tanB+tanC(弱化条件).

波斯猫猫

思路：不妨记tanA=x＞0，tanB=y＞0，tanC=z.

在△ABC中，tanC=tan(π-A-B)=-tan(A+B)，

∴ 0＜ z=(x+y)/(xy-1)，或x+y+z=xyz.  ⑴

不妨考虑下面三种情况，

①当x=y=z时，得x=y=z=√3，不符题意.

②当x=y≠z时，得z=(2x)/(x^2-1)，

x=1时，z不存在，x=2时，z=4/3，

x≥3时，x^2-1-2x=(x-1)^2-2＞0，z＜1，

仍不符题意.

③当x＜y＜z时，又x，y，z都是整数，

∴ y＞x≥1，且y≥2，z≥3.

∴ z＞y＞x (△ABC为锐角三角形).

由⑴有3z＞xyz，∴ 3＞xy，即xy≤2，

或x=1，y=2. ∴ z=3.  x+y+z=6.

luyuanhong

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（最好补充说明一下为什么 ΔABC 必定是锐角三角形）

波斯猫猫

z＞y＞x (△ABC为锐角三角形)，也就是说三个角的正切为正，必是锐角三角形.

luyuanhong

lihp2020

1都在整数
考虑是否有负数 如果有负数 那么这角大于90° 剩下两个角的和要小于90°  其中一个角要小于45° 小于 45° 的正切 没得整数
2 0也是整数 但是正切和三角形 完全排除了 那么都是正整数
由于三角形的内角和是180° 那么存在一个角小于等于60° tan60°~1.73 那么有个角的正切就是1  角度是45°
如果第二个的正切还是=1 明显不合理 放弃
剩下两个角和是135度 那么剩下两个角有个角一定 小于等于  67.5° 这个叫的大概正切 大概约等于 2.4 那么要取整 这个角的正切=2 角度大概63°

剩下的角 大概是72°大概正切=3  验证复合满足（中学生思路） 最好还是用公式tanC =(tanA+tanB)/(tanA*tanB-1)