向量 a⊥b，｜a｜=2｜b｜=10，0≤t≤1，求 ta+(1-t)b 与 (t-1/5)a+(1-t)b 最大夹角 θ

wintex

從ggb可發現夾角最大必為外接圓半徑最小之時，
且外接圓半徑最小時，圓心、原點、P點
三點會共線，有嘗試過PQ線段為 3 時亦成立，但箇中原理是為何？

luyuanhong

波斯猫猫

题：向量 a⊥b，｜a｜=2｜b｜=10，0≤t≤1，

求 ta+(1-t)b 与 (t-1/5)a+(1-t)b 最大夹角 θ 的余弦.

思路：不妨令向量a=(10，0)，b=(0，5)，

则向量OP=ta+(1-t)b=(10t，5-5t)，(倾角为α)

向量OQ=(t-1/5)a+(1-t)b=(10t-2，5-5t).(倾角为α+θ)

在ΔOPQ中，显然θ对边PQ=2，易验证不是最大边，

∴ θ是锐角，且tanθ是增函数.

于是，tanα=(1-t)/(2t)，tan(α+θ)=5(1-t)/(10t-2).

∴ tanθ=2(1-t)/(25t^2-14t+5).   (易求导，解方程)

令(tanθ)ˊ=0，解得t=1/5，或t=9/5(不合条件，舍去).

即是说，当t=1/5时，夹角 θ最大.

∴ cosθ=(2，4)·(0，4)/(√20√16)=2√5/5.

luyuanhong

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