挑战中科院智商天花板：这道积分题，能拦住你几分钟？

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挑战中科院智商天花板：这道积分题，能拦住你几分钟？

原创  泽华考研竞赛数学  泽华学长  2025 年 09 月 09 日 10:00  陕西

前言

当正弦函数遇上幂函数：一场无穷积分的奇妙邂逅！

中科院考研真题揭秘：看似简单的积分背后，隐藏着怎样的数学奥秘？

在数学分析的世界里，有些题目就像精心设计的谜题，表面平淡无奇，内里却暗藏玄机。今天我们要探讨的正是这样一道来自中国科学院考研真题的经典问题：



这个积分简洁到令人惊讶—只有幂函数和正弦函数的组合，却能让无数考研学子挠头不已。它就像数学世界中的一枚精巧的瑞士军刀，看似简单，却能考验我们对变量代换、分段处理、收敛判别等多项技能的掌握程度。

更令人着迷的是，这个积分的结果完全由参数 α 和 β 的微妙关系决定：有时候绝对收敛，有时候条件收敛，有时候干脆发散。这种对参数敏感的特性，正是数学分析中最为精妙的部分之一。

本文将带你一步步解开这个积分的神秘面纱，领略数学严谨之美，同时体会中科院考研题目的深度与魅力。无论你是正在备战考研的学子，还是纯粹对数学感兴趣的爱好者，相信这篇文章都能带给你不一样的启发和思考。

题目



分析



解析



点评

本题是含参变量无穷积分敛散性判定的典型问题，技巧性比较强，需要灵活运用变量代换、分段处理、等价无穷小替换等多种技巧；还需考虑参数的不同取值范围对积分敛散性的影响，体现了数学分析的严谨性。

● 判别法综合应用：涉及比较判别法、判别法和柯西准则等多种收敛判别方法。

● 绝对收敛与条件收敛的区分：问题不仅要求判断收敛性，还需区分绝对收敛与条件收敛，增加了问题的深度。

推广

题目



解析



比较与总结



泽华学长

wilsony

酷酷酷。