已知 a,b＞0 ，求 (a^2+b^2+ab+1)／(a+b) 的最小值

allen125

請問這題

luyuanhong

allen125

請問陸老師可以不用偏導數的方式嗎

luyuanhong

allen125 发表于 2025-10-5 08:43
請問陸老師可以不用偏導數的方式嗎

liangchuxu

利用基本不等式

波斯猫猫

题：已知 a，b＞0，求 (a^2+b^2+ab+1)／(a+b) 的最小值.

思路：令t= (a^2+b^2+ab+1)／(a+b)，

则a^2+(b-t)a+b^2-tb+1=0.

∵ a＞0， ∴ (b-t)^2-4(b^2-tb+1)≥0 ,  (t＞b＞0)

即-3b^2+2tb+t^2-4≥0.

又∵ b＞0，∴ 4t^2+12(t^2-4)≥0，解得t≥√3.

注：两次应用判别式非负，这是为何？

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答已收藏。

allen125

謝謝各位老師