无穷多个无穷小的乘积，有没有可能不是无穷小？

luyuanhong

llshs好石

希望与陆老师探讨无穷，学生有一问题请教，望陆老师不吝赐教，谢谢。

问题：若盒子中有∞个没编号的球，然后又取出∞个球，则盒子一定为空是吗？若不为空，那剩多少个球？

llshs好石

陆老师所定义的无穷小量到底是不是一个数，还是一个变量，如果是变量，又怎么相乘？

luyuanhong

llshs好石 发表于 2025-10-9 13:06
陆老师所定义的无穷小量到底是不是一个数，还是一个变量，如果是变量，又怎么相乘？

在传统的高等数学中，“无穷小量”不是一个数，而是一个无穷数列 { Xn }。

如果当 n→∞ 时，有 Xn→0 ，就说这个数列 { Xn } 是一个“无穷小量”。

如果有两个都符合“无穷小量”要求的数列：

{ Xn }={ X1, X2, X3, …… } 和 { Yn }={ Y1, Y2, Y3, …… }

把这两个数列的对应的项乘起来，得到一个数列：

{ XnYn }={ X1Y1, X2Y2, X3Y3 ,…… }

这样一个数列，就是“两个无穷小量的乘积”。



在非标准分析中，“无穷小量”是一类数，这类数的共同特点是：绝对值小于任何正实数。

非标准分析中“无穷小量”是数，但并不是只有一个数，可以有大大小小多种不同的无穷小量。

有大于 0 的无穷小量，称为“正无穷小量”。有小于 0 的无穷小量，称为“负无穷小量”。

“正无穷小量”和“负无穷小量”，总称为“非零无穷小量”。

simpley

我把陆老师的数列改造了一下：
1，1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7------
1,   1   ,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7------
1,   1   ,3 ,   1/4,1/5,1/6,1/7------
1,   1,    1    4^2,1/5,1/6,1/7------
1,   1,    1,   1,    5^3,1/6,1/7-----
1,   1,    1,    1,    1,   6^4,1/7-----
------
仍然不是一致收敛，但极限是0.说明在不是一致收敛的情况下，极限仍有可能是0

luyuanhong

对。在各个无穷小量一致收敛到 0 的情况下，可以保证无穷多个无穷小量的乘积一定是无穷小量。

在不是一致收敛的情况下，则不能保证乘积一定是无穷小量。这时可以有多种情况：

乘积可以恒等于 1 ，如第 1 楼开头举的例子。

乘积也可以趋于 0 ，如上面第 5 楼中 simpley 所举的例子。

我们还可以举出例子，使得乘积趋于无穷大。

llshs好石

陆老师您好，学生仔细读了几遍您这篇文章，认为您的构造可能是错误的

llshs好石

luyuanhong

llshs好石

luyuanhong 发表于 2025-10-15 09:55

老师所举的反例在无穷处是会发生根本性的变化，此时在无穷处的反例就是个自相矛盾的数列。