已知 x,y∈R ，x^2+2xy+3y^2=4 ，求 xy 的最大值

wintex

請問數學



1.高中方法

2.largrange篇微分法

各怎麼做？

波斯猫猫

4=x^2+2xy+3y^2≥2xy+2√3xy
=2(√3+1)xy，即xy≤√3-1

wintex

波斯猫猫 发表于 2025-10-22 08:01
4=x^2+2xy+3y^2≥2xy+2√3xy
=2(√3+1)xy，即xy≤√3-1

答案是給：2(√2-1)

波斯猫猫

x^2+2xy+3y^2=4
(x-√3y)^2+2(√3+1)xy=4
2(√3+1)xy=4-(x-√3y)^2
2(√3+1)xy≤4
2(√3+1(√3-1))xy≤4(√3-1)
xy≤√3-1

波斯猫猫

x^2+2xy+3y^2=4
(x+y)^2+2y^2=4
x+y=2cosα，√2y=2sinα，
x+y=2cosα，y=√2sinα，
x+√2sinα=2cosα，y=√2sinα，
xy=√2sinα(2cosα-√2sinα)
=√2sin2α+cos2α-1
=√3sin(2α+β)-1≤√3-1.

wintex

我知道了，陸老師不小心把2打成3,謝謝貓貓老師。

波斯猫猫

x^2+2xy+3y^2=4
x^2+2t+3(t/x)^2=4
a+2t+3t^2/a=4
a^2+2(t-2)a+3t^2=0
4(t-2)^2-12t^2≥0
t^2+2t≤2
(t+1)^2≤3
-√3≤t+1≤√3
-√3≤t+1≤√3
-1-√3≤t≤√3-1