趣味题】\( x^7 +x +1=0\)有几个虚根？有几个实数根？

dodonaomikiki

可否有简捷的办法？甚至瞪眼法？
我们一般会想到说，有3个实根4个虚根！
但实际上，这么说是胡乱猜测而没有依据！

Future_maths

\(f\left( x\right)=x^7+x+1{,}\), \(f^'\left( x\right)=7x^6+1>0\), 所以\(f\left( x\right)\)是严格增加函数，所以只有一个实数根。

luyuanhong

题  方程 x^7+x+1=0 有几个虚根？有几个实数根？

解  设 f(x) = x^7+x+1 ，对它求一阶导数，得

    f '(x) = (x^7+x+1)' = 7x^6+1 ＞ 0 。

    可见，f(x) = x^7+x+1 是严格单调增大的函数。

    当 x → -∞ 时，f(x) = x^7+x+1 → -∞ 。

    当 x → +∞ 时，f(x) = x^7+x+1 → +∞ 。   

    y = f(x) = x^7+x+1 的图像与 x 轴有且仅有一个交点。

    可见，方程 x^7+x+1=0 有且仅有一个实数根。

    还有六个根都是虚根，是三对共轭复根。