趣味题】\( x^7 +x +1=0\)有几个虚根？有几个实数根？

dodonaomikiki

可否有简捷的办法？甚至瞪眼法？
我们一般会想到说，有3个实根4个虚根！
但实际上，这么说是胡乱猜测而没有依据！

Future_maths

\(f\left( x\right)=x^7+x+1{,}\), \(f^'\left( x\right)=7x^6+1>0\), 所以\(f\left( x\right)\)是严格增加函数，所以只有一个实数根。

luyuanhong

题  方程 x^7+x+1=0 有几个虚根？有几个实数根？

解  设 f(x) = x^7+x+1 ，对它求一阶导数，得

    f '(x) = (x^7+x+1)' = 7x^6+1 ＞ 0 。

    可见，f(x) = x^7+x+1 是严格单调增大的函数。

    当 x → -∞ 时，f(x) = x^7+x+1 → -∞ 。

    当 x → +∞ 时，f(x) = x^7+x+1 → +∞ 。   

    y = f(x) = x^7+x+1 的图像与 x 轴有且仅有一个交点。

    可见，方程 x^7+x+1=0 有且仅有一个实数根。

    还有六个根都是虚根，是三对共轭复根。

波斯猫猫

ataorj

f(x) = x^7+x+1 ，设任意两个实数a和b,a<b,则a^7<b^7,显然f(x) 是单调增函数且定义域(?)是整个实数范围，无论f(x)限于多大的定值f，f和x有且仅有唯一的（一一）对应关系，仅一个实根

波斯猫猫

f(x) = x^7+x+1 ，设任意两个实数a和b,a<b,则a^7<b^7,显然f(x) 是单调增函数且定义域(?)是整个实数范围，无论f(x)限于多大的定值f，f和x有且仅有唯一的（一一）对应关系，仅一个实根

仅限于翻译：
f(x) = x^7+x+1 ，对任意a，b∈(-∞，+∞),且a<b,有a^7+a+1<b^7+b+1,故f(x) 在定义域(-∞，+∞)内是增函数。“无论f(x)限于多大的定值f“无法翻译，f(x)和x是一 一对应的，仅有一个实根。

ataorj

f是原式的意思，根据语境可以是多项式也可以包含关系部分（比如=0)，f= x^7+x+1 =0，这里要求结果是0。
对于方程，首先x在定义域内都可取值而（多项式）得到众多结果，但所谓方程，是限定这种结果的（通常是通过和定值的关系来限定），使得x的值域也狭窄析出。
所以，并非简单的f定值了，x也只狭窄。它有宽进窄出的过程，对应也是这样。
我前一帖的表述，强调了应关注的两个细节a<b和a^7<b^7，以表明其它没那么关键，可以略过。