趣味题】求曲率圆

dodonaomikiki

曲线与直线y=x有一个交点：\(                （\frac{1}{2\sqrt{2}},         \frac{1}{2\sqrt{2}}          ）                 \)
求曲线在这个点的曲率圆

dodonaomikiki

先行计算y的一阶导数，二阶导数

\(

\boldsymbol{           \displaystyle{          计算过程中，用x=y=\sqrt{1/8}   代入                     }}    \\





      \boldsymbol{           \displaystyle{              2/3x^{-1/3}+2/3y'=0              }}     \\
                   \boldsymbol{           \displaystyle{        y'=\frac{- x^{-1/3}  }{y}                     }}      \\
           \boldsymbol{           \displaystyle{               =\frac{- 0.5^{ 3/2 \bullet (-1/3)  }  }{0,5^{3/2}}                      }}     \\
          \boldsymbol{           \displaystyle{               =\frac{-0.5^{-0.5}}{    0.5^{3/2}}                    }}       \\
       \boldsymbol{           \displaystyle{                     =-0.5^{-1/2-3/2}                   }}        \\
         \boldsymbol{           \displaystyle{              =-0.5^{-2}                     }}      \\
          \boldsymbol{           \displaystyle{                =-4                     }}      \\

...\)

dodonaomikiki

y的二阶导数

\(

      \boldsymbol{           \displaystyle{                         y''= -   \frac{ -1/3x^{-4/3}y-x^{-1/3}y'                        }{              y^2}                }}                       \\


        \boldsymbol{           \displaystyle{                        =   \frac{ 1/3x^{-4/3}y+x^{-1/3}y'                        }{              y^2}                   }}                \\

        \boldsymbol{           \displaystyle{                       =   \frac{ x^{-1/3}  /3-4x^{-1/3}                        }{         1/8   }                    }}               \\



         

  

        \boldsymbol{           \displaystyle{                  =8(    -11/3   \bullet   0,5^{3/2       \bullet    -1/3}                          )                       }}            \\
             \boldsymbol{           \displaystyle{               = -88/3  \sqrt{2}                    }}                \\

  \boldsymbol{           \displaystyle{            =8   \bullet     \frac{-11}{3}  \bullet   0,5^{   \frac{-1}{2}}        }}            \\

  \boldsymbol{           \displaystyle{            = \frac{-88}{3}  \bullet \sqrt{2}        }}            \\

  \boldsymbol{           \displaystyle{            = \frac{-88\sqrt{2}}{3}          }}            \\

...\)

dodonaomikiki

在计算    曲率圆的中心点坐标：

\(
  \boldsymbol{           \displaystyle{              x=0.5^{3/2}-\frac{ -4(1+16)    }{-88\sqrt{2}}    \bullet   3                }}        \\

  \boldsymbol{           \displaystyle{              =\frac{   \sqrt{2} }{4}+\frac{   6\sqrt{2}     \bullet  17  }{     88}                           }}           \\


  \boldsymbol{           \displaystyle{              =\frac{   \sqrt{2} }{4}+\frac{   17\sqrt{2}     \bullet  3  }{     88}                        }}              \\



  \boldsymbol{           \displaystyle{              =\frac{   \sqrt{2} }{4}+\frac{   51\sqrt{2}    }{     88}                         }}             \\



在计算纵坐标：                 \\
  \boldsymbol{           \displaystyle{              y=0.5^{3/2}-\frac{ 1+16    }{-88\sqrt{2}}    \bullet   3                       }}          \\

  \boldsymbol{           \displaystyle{              =\frac{   \sqrt{2} }{4}+\frac{  -51  }{     88\sqrt{2}   }                          }}            \\



...\)

dodonaomikiki

在计算曲率圆的半径


\(

\boldsymbol{           \displaystyle{     \rho=1/K=  \frac{   [  1+y'^{2}   ]^{3/2   }         }{   |y''|}                                }}     \\
\boldsymbol{           \displaystyle{     =\frac{ (1+16) ^{3/2 }           }{  \frac{   |-88\sqrt{2}}{3}     |   }                               }}     \\
\boldsymbol{           \displaystyle{     =\frac{ 3   \bullet    \sqrt{17}   \bullet    17      }{ 88\sqrt{2}  }                             }}       \\
\boldsymbol{           \displaystyle{     =\frac{ 51   \sqrt{17}     }{ 88\sqrt{2}  }                           }}         \\


...\)

dodonaomikiki

计算肯定发生拉错误！


望大师们指正

dodonaomikiki

大学知识掌握得太差，
造成计算上的严重错误！
重新计算，把错误改正过来~~~~~

dodonaomikiki

\(

\boldsymbol{           \displaystyle{                     微辣重新计算Curvature       \qquad    Circle之圆心，真是不容易！虽然是基础知识                  }}    \\





      \boldsymbol{           \displaystyle{                               2/3x^{-1/3}+2/3  y^{-1/3}  y'=0              }}     \\
                   \boldsymbol{           \displaystyle{                       x^{-1/3}+  y^{-1/3}  y'=0                  }}      \\
           \boldsymbol{           \displaystyle{                          y'=\frac{-  x^{-1/3}  }{ y^{-1/3}}    =-1                }}     \\
          \boldsymbol{           \displaystyle{                              =\frac{-0.5^{-0.5}}{    0.5^{3/2}}                    }}       \\
...\)

dodonaomikiki

既然知道啦y的一阶导数，
那么接下来，便可以计算y的二阶导数

\(
  \boldsymbol{           \displaystyle{                          y''=-[(    \frac{y}{x}         )^{1/3}]'              }}   \\
\boldsymbol{           \displaystyle{                       =-\frac{1}{3}(\frac{y}{x})^{-2/3}                  \bullet                  \frac{   y'x-y        }{x^2}                     }}      \\
\boldsymbol{           \displaystyle{                       =-\frac{1}{3}         \bullet       1       \bullet        \frac{   -     \sqrt{1/8}   -    \sqrt{1/8}         }{ ( \sqrt{1/8})^2 }                      }}      \\
\boldsymbol{           \displaystyle{                       =\frac{1}{3}       \bullet         2       \bullet         \frac{   1       }{  \sqrt{1/8}   }                       }}     \\
\boldsymbol{           \displaystyle{                       = \frac{2}{3}       \bullet     8^{1/2}                          }}     \\
\boldsymbol{           \displaystyle{                       = \frac{4\sqrt{2}           }{3}                      }}      \\


...\)



经过计算，可以发现：
\(
  \boldsymbol{           \displaystyle{      y0=x0= \sqrt{1/8} +   \frac{  (1+1)3        }{      4\sqrt{2}   }                         }}     \\
  \boldsymbol{           \displaystyle{      =   \frac{   1     }{ 2 \sqrt{2}    }  +    \frac{   6        }{          4\sqrt{2} }                       }}     \\  
  \boldsymbol{           \displaystyle{      =\frac{   1     }{ 2 \sqrt{2}    }  +    \frac{   3       }{         2\sqrt{2} }                          }}    \\
  \boldsymbol{           \displaystyle{      = \frac{   4      }{         2\sqrt{2} }                       }}      \\
  \boldsymbol{           \displaystyle{      = \sqrt{2}                      }}      \\



  \boldsymbol{           \displaystyle{     确定圆心之后，那就很容易绘制出这个曲率园来                   }}      \\








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