已知 a,b,c∈R+ ，且 ab+bc+ca=1 ，证明 a^2+b^2+c^2+3abc(a+b+c)≥2

波斯猫猫

一个代数不等式的三角证明(本论坛数学期刊 )
原创  郭要红  2025 年 10 月 13 日 06:24  安徽
(luyuanhong发表于 2025-10-26 01:04 )
题：一个代数不等式的三角证明(本论坛数学期刊 )
原创  郭要红  2025 年 10 月 13 日 06:24  安徽
(luyuanhong发表于 2025-10-26 01:04 )
题：若a，b，c∈R+，且ab+bc+ca=1，
则a^2+b^2+c^2+3abc(a+b+c)≥2.

思路：1=ab+bc+ca=(a，b，c).(b，c，a)

=(a^2+b^2+c^2)cosθ≤a^2+b^2+c^2.

∴a^2+b^2+c^2≥1.   

又a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2≥1，

∴a+b+c≥√3.         

又a+b+c≥3(abc)^(1/3)≥√3，

即3abc≥1/√3.         

∴a^2+b^2+c^2+3abc(a+b+c)

≥1+(1/√3)×√3≥2.   (向量法)

注：3(abc)^(1/3)不能突破最小值√3，
又3abc≤1/√3，故取“=”.

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题：若a，b，c∈R+，且ab+bc+ca=1，
则a^2+b^2+c^2+3abc(a+b+c)≥2.

思路：a，b，c∈R+，且ab+bc+ca=1，

根据对称性，不妨设a≥b≥c，

∴3c^2≤1，即3c^2+9c^4≤2.

∴a^2+b^2+c^2+3abc(a+b+c)

≥3c^2+9c^4≥2.

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关于1楼：
∴a+b+c≥√3.         
又a+b+c≥3(abc)^(1/3)≥√3，

假如：a+b+c≥√3≥3(abc)^(1/3)=m＜√3，
则a+b+c≥m，这与a+b+c≥√3矛盾.
故a+b+c≥3(abc)^(1/3)≥√3.

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若a,b,c∈R+,且ab+bc+ca=1，则a^2+b^2+c^2+3abc(a+b+c)≥2.

思路：令f(a,b,c)=a^2+b^2+c^2+3abc(a+b+c)，

F(a,b,c)=f(a,b,c)+λ(ab+bc+ca-1)，

就F(a,b,c)，分别对a,b,c求导，并令其为零得：

2a+6abc+3bc(b+c)+λ(b+c)=0，

2b+6abc+3ac(a+c)+λ(a+c)=0，

2c+6abc+3ab(a+b)+λ(a+b)=0，

解得：a=b=c=1/√3.  经检验，

得f(a,b,c)min=3(1/√3)^2+3(1/√3)^3(3/√3)=2.

luyuanhong

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