z=a+bi，a,b＞0，｜z｜=1，Arg((z+i)／z)=Arg(z／(z+1))=θ，求 ｜z+i｜｜z+1｜sin2θ

wintex

sdlijinghua

用几何方法容易理解

luyuanhong

sdlijinghua

对不起，我写错了一个数，向陆老师学习

波斯猫猫

z=a+bi，a,b＞0，｜z｜=1，Arg((z+i)／z)=Arg(z／(z+1))=θ，
求｜z+i｜.｜z+1｜sin2θ.

思路：设z=cosα+isinα (0＜α＜π/2)，易得，

(z+i)／z=1+sinα+icosα=√(2+2sinα)(cosθ+isinθ)，

z／(z+1)=[1+itan(α/2)]/2=(cosθ+isinθ)/[2cos(α/2)].

∴ 1+sinα=√(2+2sinα)cosθ，cosα=√(2+2sinα)sinθ，

cos(α/2)=cosθ，sin(α/2)=sinθ.   (0＜θ＜π/2)

∴ 1+sinα=2(cosθ)^2，(cosα)^2=4(sinθcosθ)^2，

1/2=cosθ/[2cos(α/2)]，tan(α/2)/2=sinθ/[2cos(α/2)].

∴cosα=sin2θ，tan(α/2)=tanθ.

解得，sin2θ=cosα=sinα=1/√2.

∴｜z+i｜.｜z+1｜sin2θ=｜z+1｜^2sin2θ

=｜1+1/√2+i/√2｜^2(1/√2)=1+√2.

luyuanhong

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