设六次实系数多项式 P(x) 满足 (x-1)P(x^2)=(x+1)(P(x))^2 ，求 P(x)

Zach

设六次实系数多项式P(x)满足\((x-1)P(x^2)=(x+1)(P(x))^2\)，求P(x)

llshs好石

经计算，易知P(x)=x^6-x^5

Zach

llshs好石 发表于 2025-10-30 20:29
经计算，易知P(x)=x^6-x^5

請問如何計算?

sdlijinghua

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luyuanhong

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波斯猫猫

设六次实系数多项式 P(x) 满足 (x-1)P(x^2)=(x+1)(P(x))^2，
求 P(x) .

思路：显然P(1)=0，即P(x)=(x-1)f(x).

∵ P(x^2)都是偶次项，且(x-1)P(x^2)=(x+1)(P(x))^2，

∴ (P(x))^2不含奇次项.  故可设f(x)=ax^5+bx^3+cx，

∴ f(x^2)=ax^10+bx^6+cx^2，

若b，c中至少有一个不为零，则[f(x)]^2会产生8次项，

或4次项，∴ b=c=0.

∴ f(x)=ax^5，即 P(x)=ax^5(x-1).

∴ ax^10(x-1)(x^2-1)=a^2x^10(x+1)(x-1)^2，即a=1.

∴ P(x)=x^5(x-1).

luyuanhong

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