丘成桐眼里的规范场是怎样的？

luyuanhong

丘成桐眼里的规范场是怎样的？

原创  超级侧卫 6704  超级侧卫 6704  2025 年 10 月 31 日 23：24  广西

1 ……爱因斯坦在 1915 年成功地完成广义相对论的方程之后，……很多几何学家参与其事，列维-齐维塔（1873——1941）是其中重要的一位，他将黎曼几何中平行移动的观念加以推广，容许挠率。基本上，从几何的角度看，他已经向一般的规范场迈进了一步。

2 1918年，外尔在其著作《空间、时间、物质》中正式引入规范场的观念，但是他的规范群是正实数群。爱因斯坦很喜欢他的建议，但也指出这个群使得平行移动时，长度没有保障，不满足物理学的要求。

3 量子力学开始后，伦敦（1900——1954）等人在 1926 年将规范群改为圆。长度得到了保障，外尔也修正了他原来的理论，同时推导出麦克斯韦方程组。外尔宣称规范炀和引力没有直接关系，却是物质世界的主宰，有物理意义的量必须是规范不变量。他因此建立了控制各种物理力量的规范理论。由于当时发现的粒子不多，没有必要推广规范群到非交换的情形。

4 从几何的角度来看，嘉当在 1926 年已经开始非交换群的规范场理论的研究，他的学生查尔斯.埃雷斯曼（1905——1979）和陈省身将这些理论发扬光大。当规范群是酉群时，陈省身先生定义了影响近代几何和物理的陈示性类。

5 埃雷斯曼-外尔-嘉当的规范场理论，在 1953 和 1954 年分别被泡利和杨振宁-米尔斯用在所谓的同位旋理论上。但是，这些古典理论要到十多年之后，经过一群物理学家开发的对称破坏、重整化等几个重要理论，才成为现在我们看到的标准模型。

6 标准模型聚集了一大群物理学家和数学家几百年来的智慧，可以说是人类的瑰宝。

以上引自《真与美——丘成桐的数学观》，丘成桐著，钟秀斌选编，江苏凤凰文艺出版社出版。

我们从丘成桐的描述来看，规范场的发展路径有两条：一条从物理出发，由爱因斯坦广义相对论以及他的统一场论思想出发，外尔是首创者，其间有爱因斯坦、量子力学、伦敦的波折，但终于建立起了非阿贝尔规范场；另一条从数学或几何出发，笫一位是列维-齐维塔，将黎曼几何中平行移动的观念推广到容许挠率，丘成桐认为“已经向一般的规范场迈进了一步。”但主要的还是嘉当-埃雷斯曼-陈省身的贡献，完成了纤维丛理论——这是从物理作为根源的规范场理论的精确数学对应物。

从几何这条路看来，物理学作用不太大，除了列维-齐维塔之外，嘉当-埃雷斯曼-陈省身完全是从几何观点作出的。

而从物理这条路来看，规范场起源于爱因斯坦广义相对论与统一场论的思想，外尔初提想法后，被爱因斯坦因其不符合物理事实而否定。但外尔本人没有放弃，果然不久量子力学发展起来之后，经过伦敦等物理学家的改正，外尔的规范场理论复活了。这是外尔坚持美的理论必定有道理的一次胜利。

丘成桐文中说泡利、杨振宁分别于 1953 、1954 年把“埃雷斯曼-外尔-嘉当”的规范场理论用在所谓的同位旋理论上，这一点恐怕有误。泡利、杨振宁（也应该提到米尔斯）是从物理的需要，将发源于物理的外尔的规范场理论推广到非阿尔规范场，而不是拿数学家家的理论来用。换句话说，规范场原来只从物理这个方向发展出来，“规范场”这个名字就表明这是一种“场”，是一种物理的概念。

况者杨振宁在《杨振宁文集》中写逍：“米尔斯和我在 1954 年所做的是麦克斯韦理论的推广。”“这意味着，规范势在数学上就是联络。这一点对我来说，显然是晚得多的时候（正如上面所说，是 1967 到 1969 年之间）才认识到的。”

这就是说，规范场实际上是从广义相对论、统一场论、麦克斯韦理论、量子力学的物理中产生的；而纤维丛理论则是从几何发源的。一直到上世纪 60 年代末，杨振宁才发现两者之间的关系。这再次说明，从物理中能够产生数学即规范场，它与从几何中产生的数学纤维丛是同样的结构。只不过是两条平行的路径各自独立地发展起来的。

“我们证明了，规范相因子给了电磁学一种内在的完整的描述。这种描述既不会过份，也不会不足。一旦接受了这一点，该文的其余部分便只不过介绍了纤维丛的概念而已；这些概念支撑了规范理论物理学中那些含混笼统的观念。”杨振宁这段话说明了，规范场起源于物理，联系着物理，但还未免“含混笼统”；只有起源于几何的精确的对应物纤维丛，才能有“一种内在的完整的描述。这种描述既不会过份，也不会不足。”

所以物理中产生的数学，还要经过数学标准的完善化，方能使相应的物理现实全部有落脚之处，“支撑了规范理论中那些含混笼统的观念。”数学是最终的完善，达到古代对恰如其份的美人的要求“增一分则太高，减一分则太矮。”

经过物理与数学相互交织，才能建立起标准模型，这一人类的瑰宝。

又注：规范场作为弱电力、强力的基石，是量子力学应用到场的理论的重大突破，是量子力学应用浓墨重彩的一章。

超级侧卫 6704