用巧妙的配方法，求奇妙的雷劈数

刘付来

一；引言
印度数学家卡普列加在一次旅途中，看到路边的一块里程碑被雷电劈成两截，一半写着30.另一半写着25.他发现这几个数字之间的奇妙关系；
30+25=55，而\(55^2=3025\).把一个整数劈成两个数，把这两个数加起来再平方恰好是原来的数。这样的数被命名为卡普列加数，也叫雷劈数。
自从雷劈数被发现后，数学爱好者用各种方法寻找雷劈数，但至今还没有用公式求雷劈数的。我这里用巧妙的配方法求雷劈数，可以推导出一系列求雷劈数的公式，也可以轻松的逐个求雷劈数。例如求雷劈数的公式;\(\begin{cases}
Q_1=\left( \frac{10^{2k}+10^k}{2}\right)^2\\
Q_2=\left( \frac{10^{2k}-10^k}{2}\right)^2
\end{cases}\ \ \ \ 当\ \ k={,}1{,}2{,}3......\ \ \ \)所求的雷劈数是；\(55^2\ \ \ 和45^2；5050^2\ \ 和4950^2；500500^2\ \ 和499500^2......\)
再例如；\(\begin{cases}
Q_1=\left( \frac{5\times10^{2+9k}-5}{9}\right)^2\\
Q_2=\left( \frac{4\times10^{2+9k}+5}{9}\right)^2
\end{cases}\ \ \ \ 当k=0{,}1{,}2{,}3......\ \ \ 时\)所求的雷劈数是；\(55^2\ 和45^2；55555555555^2\ 和44444444445^2；55555555555555555555^2\ 和44444444444444444445^2......\)在例如；\(\begin{cases}
\ Q_1=\left( \frac{6\times10^{2+22k}+5}{11}\right)^2\\
Q_2=\left( \frac{5\times10^{2+2k}-5}{11}\right)^2
\end{cases}\ \ \ \ 当k=0{,}1{,}2{,}3......\)时，所求得的雷劈数是；\(55^2\ 和45^2；545454545454545454545455^2\ \ 和454545454545454545454545^2；5454545454545454545454545454545454545454545455^{2\ }和4545454545454545454545454545454545454545454545^2......\)这些公式是如何推导出来的呢，下次解。
Q_1=\left( \frac{10^{2k}+10^k}{2}\right)^2\\
Q_2=\left( \frac{10^{2k}-10^k}{2}\right)^2
\end{cases}\)

刘付来

尊敬的网友：
我这篇帖子刚开个头，就嘎然而止了。因为我将此帖的下一节“根据雷劈数的定义，推导出求雷劈数的一般公式”发贴时，屏幕上蹦出了“内容含有不良信息，无法提交”。我懵了。其实我的这篇帖子的内容的大部分，是我十多年前探索的结果，曾以“配方求雷劈数”为题整理成拙文，于2014年1月23日线上投给“数学学报”1月26日收到退稿通知，曰：经审查，不适合我刊.....。。接着2014年1月27日线上投给了“数学通报”得到回复，配方求雷劈数稿件编号为2344215，还寄了50元的审稿费。审稿后退稿，退稿通知不知道什么时候在我的邮箱内消失了。同年3月线上又投给了“中学数学研究”，得到回复，配方求雷劈数稿件编号为G20140282,编审后退稿。后又线下寄给了某数学杂志。当厚厚的稿件寄出以后，如石沉大海，一点音信都没有。我傻了。由原来的心高气盛变成心灰意冷。此事也就不了了之。但它必竟是我心血的结晶，时不时翻翻看看，思索思索，结果又有了新的发现，用传统的笔算，在3-5分钟内就可以求出一对雷劈数，例诶
524323824324的平方和475676175676的平方就是一对雷劈数。我想在有生之年，将它公布于世。我该怎么办？请高人指教一二。谢谢啦！

王守恩

雷劈数——A006886——Kaprekar numbers: positive numbers n such that n = q+r and n^2 = q*10^m+r, for some m >= 1, q >= 0 and 0 <= r < 10^m, with n != 10^a, a >= 1.

{9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 38962, 77778, 82656, 95121, 99999, 142857, 148149, 181819, 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313,
461539, 466830, 499500, 500500, 533170, 538461, 609687, 627615, 643357, 648648, 670033, 681318, 791505, 812890, 818181, 851851, 857143, 961038, 994708, 999999, 4444444, 4927941, 5072059, 5479453, 5555556,
8161912, 9372385, 9999999, 11111112, 13641364, 16590564, 19273023, 19773073, 24752475, 25252525, 30884184, 36363636, 38883889, 44363341, 44525548, 49995000, 50005000, 55474452, 55636659, 61116111,
63636364, 69115816, 74747475, 75247525, 80226927, 80726977, 83409436, 86358636, 88888888, 91838088, 94520547, 99999999, 234567901, 332999667, 432432432, 567567568, 667000333, 765432099, 999999999}

Sort@Flatten@Table[c /. Solve[{(c - 1)/(10^k - 1) == a/c, c > a > 0}, {a, c}, Integers], {k, 6}]——这个公式比A006886的公式还是好一些。

刘付来

谢谢您的关注
雷劈数的最重要的特性是：它总是成对出现，且每对雷劈数的幂底数之和恰好是\(10^n\).就拿底数是8位数的雷劈数来说，除了您给出的8对雷劈数外，还有：底数为94520547和5479453；
91838088和8161912；44525548和55474452；49995000和50005000；44363341和55636659；
16590564和83409436.

王守恩

雷劈数——A006886——Kaprekar numbers: positive numbers n such that n = q+r and n^2 = q*10^m+r, for some m >= 1, q >= 0 and 0 <= r < 10^m, with n != 10^a, a >= 1.

A006886——给出了前51514项。——这里只有316项。

1 1
2 9
3 45
4 55
5 99
6 297
7 703
8 999
9 2223
10 2728
11 4879
12 4950
13 5050
14 5292
15 7272
16 7777
17 9999
18 17344
19 22222
20 38962
21 77778
22 82656
23 95121
24 99999
25 142857
26 148149
27 181819
28 187110
29 208495
30 318682
31 329967
32 351352
33 356643
34 390313
35 461539
36 466830
37 499500
38 500500
39 533170
40 538461
41 609687
42 627615
43 643357
44 648648
45 670033
46 681318
47 791505
48 812890
49 818181
50 851851
51 857143
52 961038
53 994708
54 999999
55 4444444
56 4927941
57 5072059
58 5479453
59 5555556
60 8161912
61 9372385
62 9999999
63 11111112
64 13641364
65 16590564
66 19273023
67 19773073
68 24752475
69 25252525
70 30884184
71 36363636
72 38883889
73 44363341
74 44525548
75 49995000
76 50005000
77 55474452
78 55636659
79 61116111
80 63636364
81 69115816
82 74747475
83 75247525
84 80226927
85 80726977
86 83409436
87 86358636
88 88888888
89 91838088
90 94520547
91 99999999
92 234567901
93 243902440
94 332999667
95 432432432
96 567567568
97 665188470
98 667000333
99 765432099
100 867208672
101 909090909
102 999999999
103 1111111111
104 1776299581
105 2020202020
106 2646002646
107 3846956652
108 3888938889
109 4090859091
110 4132841328
111 4756047561
112 4798029798
113 4958067763
114 4999950000
115 5000050000
116 5041932237
117 5201970202
118 5243952439
119 5867158672
120 5909140909
121 6111061111
122 6153043348
123 7359343993
124 7979797980
125 8223700419
126 8888888889
127 8975672343
128 9090909091
129 9132791328
130 9334811530
131 9756097560
132 9999999999
133 19481019481
134 20305787796
135 24138656649
136 44444444445
137 55555555555
138 65098401732
139 71428071429
140 74074074075
141 74761738129
142 75861343351
143 79694212204
144 81433418067
145 81933418567
146 90909090910
147 93555093555
148 98268434902
149 99999999999
150 104247104248
151 148835812203
152 156007492641
153 159341159341
154 164983164984
155 165670829038
156 168316831684
157 172342508976
158 175676175676
159 178321178322
160 195156195157
161 218400870420
162 230769230770
163 233415233415
164 238128574762
165 239744903112
166 242390905758
167 249750249750
168 250250250250
169 259225922593
170 266585266585
171 269230269231
172 272563935931
173 304843304844
174 312202648836
175 321678321679
176 324324324324
177 329037665671
178 331683668317
179 333299996667
180 335016335017
181 340659340659
182 346638010005
183 363473026840
184 395752395753
185 399086062453
186 403111739745
187 405757742391
188 406445406445
189 409090409091
190 422592759226
191 425925425926
192 428571428572
193 435930772564
194 437547100914
195 473160136527
196 480519480519
197 489995153362
198 496666833300
199 497354497354
200 499999500000
201 500000500000
202 502645502646
203 503333166700
204 510004846638
205 519480519481
206 526839863473
207 562452899086
208 564069227436
209 571428571428
210 574074574074
211 577407240774
212 590909590909
213 593554593555
214 594242257609
215 596888260255
216 600913937547
217 604247604247
218 636526973160
219 653361989995
220 659340659341
221 664983664983
222 666700003333
223 668316331683
224 670962334329
225 675675675676
226 678321678321
227 687797351164
228 695156695156
229 727436064069
230 730769730769
231 733414733415
232 740774077407
233 749749749750
234 750249750250
235 757609094242
236 760255096888
237 761871425238
238 766584766585
239 769230769230
240 804843804843
241 821678821678
242 824323824324
243 827657491024
244 831683168316
245 834329170962
246 835016835016
247 840658840659
248 843992507359
249 851164187797
250 895752895752
251 901731565098
252 906444906445
253 909090909090
254 918066581433
255 918566581933
256 925238261871
257 925925925925
258 928571928571
259 934901598268
260 980518980519
261 991024327657
262 992640656007
263 997353997354
264 999999999999
265 1174004192872
266 1392405063292
267 2003821351803
268 2222222222223
269 2902798571724
270 3138070313808
271 3396226415094
272 3614627285514
273 6385372714486
274 6603773584906
275 7777777777777
276 7996178648197
277 8585853585859
278 8607594936708
279 8825995807128
280 9781599129580
281 9999999999999
282 13636368636364
283 14141414141415
284 16774438950171
285 22222222222222
286 24639702463971
287 25360292536030
288 27777782777778
289 36363636363637
290 38276071100334
291 38996661172393
292 39501706677444
293 46861924686193
294 49999995000000
295 50000005000000
296 53138075313807
297 57813911472448
298 60498293322556
299 60716710044172
300 61003338827607
301 61723928899666
302 63636363636363
303 68315548020345
304 71167942135684
305 71218346592069
306 72222217222222
307 74070740707408
308 74639707463970
309 75360297536029
310 77777777777778
311 83225561049829
312 85858585858585
313 86363631363636
314 91414146414141
315 96861929686192
316 99999999999999

王守恩

\(雷劈数 =10^k*a+b=(a+b)^2=c^2,\ \ \ 即\frac{a}{c}=\frac{c-1}{10^k-1},\ \ 解这个比例\ \frac{a}{c}=\frac{c-1}{10^k-1},\ \ k是突破口。譬如当\ k=149\ 时,有\ 15\ 个解如下。\)

{{a -> 173403303844323591646598395103367834668408855430376430577729040840432754106253071257908905048137921102218624012654926150597741804864378303584037630,
  c -> 4164172232801179318273926669119927695977059560253808548995168903462637832996193915391990857780098225640732532698074294009051017898497462110321801471},
{a -> 1736500371356354718649117650779404003721762386733904141902455322937774811003311425395642305346979111242387416504872044824274729953516776540710242640,
  c -> 13177633973351797111483937400690616317363940596344526998837137049168686142401888986533869493045014336058515973831145198086158380158539941235475309136},
{a -> 3260931694204293277352013702655004908061320655811399791518147799795309766601771824910851239861921425755720214418449067084846672121581555637268175248,
  c -> 18058049989421042903948295553102294526245162661968413673227053318759584389226028306830231364442123996581489689524147928213171204323724760111900420752},
{a -> 4938271604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938,
  c -> 22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222},
{a -> 9756679526222243903950541444347275186842059540586565168879145842713662640471769272248115776399251983106994468219903999081669430590729412821390697118,
  c -> 31235683962772840015432232953792910843609103258312940672064190367928270531627917293364100857487138332640005663355293126299329584482264701347375729887},
{a -> 12531498186673202817580250322691282860821785367825298857435010060839906923675755913237855907194145976651110565368097071134172281628917244250304207194,
  c -> 35399856195574019333706159622912838539586162818566749221059359271390908364624111208756091715267236558280738196053367420308380602380762163457697531358},
{a -> 21661664966847208818216450676718796590610614965926929061717565764207957862877725087508897158579752848383035041272164074220983904112144815663744500010,
  c -> 46542093815004937762345544823984866934168674519464837105713587409849507246149860484413676920290639445137772114422484651478448193295513076430402047891},
{a -> 28577477336837333293525361028749062722273265926997254850290390944508943370578004118681543317998473958107490812427194771264087517521118662802940404228,
  c -> 53457906184995062237654455176015133065831325480535162894286412590150492753850139515586323079709360554862227885577515348521551806704486923569597952109},
{a -> 41731785795525164150167931076865605781649459730691800415316291518058090194427533495725672476659672860089634173261362230517411076867392917334909144478,
  c -> 64600143804425980666293840377087161460413837181433250778940640728609091635375888791243908284732763441719261803946632579691619397619237836542302468642},
{a -> 47285311600676563873086075536761453499623853023960683824750765106857121577215934685519914061424975317826983141509317746483010261626200010126639237344,
  c -> 68764316037227159984567767046207089156390896741687059327935809632071729468372082706635899142512861667359994336644706873700670415517735298652624270113},
{a -> 60493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160494,
  c -> 77777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777778},
{a -> 67144831715362207469455422596450415855570995331874572445064041162276140988149715211250388510977673432592740835370153210658504263474132035413467333744,
  c -> 81941950010578957096051704446897705473754837338031586326772946681240415610773971693169768635557876003418510310475852071786828795676275239888099579248},
{a -> 75381232424652760495681242849398171368993881194044850144228181224600402526199533452327903319256950439125355468842581648651957969636436894069759624368,
  c -> 86822366026648202888516062599309383682636059403655473001162862950831313857598111013466130506954985663941484026168854801913841619841460058764524690864},
{a -> 91845058838241964955098745056863512442714289734922759332587391233915157088113865240473927189487941469820753558616506338132495706007869454082940434688,
  c -> 95835827767198820681726073330880072304022940439746191451004831096537362167003806084608009142219901774359267467301925705990948982101502537889678198529},
{a -> 99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999998,
  c -> 99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999}}

\(上面有15个解。当然有解数比较多的。譬如当k=64时,有65535个解。想一想: A006886——给出51514个解。我们一个数就比它还多。——\)

刘付来

谢谢您的指导！
我这里是用配方法求雷劈数，根据雷劈数的定义，用配方法推导出求雷劈数的一般公式：
\(Q=\left[ \frac{10^n}{2}\pm\sqrt{\left( \frac{10^{\ n}}{2}\right)^2-\left( 10^{\ n}-1\right)y}\right]^2\).
当y的值或代数式能使公式中根号内的值或式为完全平方数或完全平方式，就能求出一对雷劈数或一个求雷劈数的公式。例如，当y=1时\(Q=\left[ \frac{10^n}{2}\pm\left( \frac{10^n}{2}-1\right)\right]^2，\therefore\begin{cases}
Q_1=\left( 10^n-1\right)^2\\
Q_2=1^2
\end{cases}\)

Q_2=1^2
\end{cases}\),当n=1,2,3,......时所求得雷劈数是：\(9^2；99^2；999^2；.......。1^2；01^2；001^2；......\)
当y=0时，\(Q=\left[ \frac{10^n}{2}\pm\frac{10^n}{2}\right]^2\therefore\begin{cases}
Q_1=10^{2n}\\
Q_2=0^2
\end{cases}\)
当n=1,2,3,.......时，所求得的雷劈数是\(10^2；100^2；1000^2；......。0^2；00^2；000^2；......\)
这是两个特例。当引入参数导出其他公式，用数学归纳法就可以推导出求雷劈数的其他公式。例如
\(\begin{cases}
Q_1=\left[ \frac{8\times10^{1+9k}+1}{9}\right]^2\\
Q_2=\left[ \frac{10^{1+9k}-1}{9}\right]^2
\end{cases}k=0，1，2，3，......\)，可以求出无数对雷劈数。目前导出求雷劈数的公式有；\(\begin{cases}
Q_1=\left[ \frac{7\times10^{5+9k}+2}{9}\right]^2\\
Q_2=\left[ \frac{2\times10^{5+9k}-2}{9}\right]^2
\end{cases}；\begin{cases}
Q_1=\left[ \frac{6\times10^{6+42k}+1}{7}\right]^2\\
Q_2=\left[ \frac{10^{6+42k}-1}{7}\right]^2
\end{cases}；\begin{cases}
Q_1=\left[ \frac{2\times10^{3k}+10^{2k}+10^k-1}{3}\right]^2\\
Q_2=\left[ \frac{10^{3k}-10^{2k}-10^k+1}{3}\right]^2
\end{cases}；......\)
如果逐个求雷劈数，配方法发现，雷劈数与\(10^n-1\)的因数有关。例如n=12时\(10^{12}-1=999999999999=27\times7\times11\times13\times37\times101\times9901\)(相同质因数合并成一个因数}，那么每对因数就可以求出一对雷劈数。这时能求出雷劈数的对数是\(c_7^1+c_7^2+c_7^3=7+21+35=63\)，加上特例\(1\times999999999999\)可以求出2对雷劈数，总共可求出65对雷劈数，它们是；\(\begin{cases}
999999999999^2\\
000000000001^2
\end{cases}；\begin{cases}
1000000000000^2\\
000000000000^2
\end{cases}；\begin{cases}
571428571428^2\\
428571428572^2
\end{cases}；\begin{cases}
909090909090^2\\
90909090910^2
\end{cases}\begin{cases}
769230769230^2\\
230769230770^2
\end{cases}\)......

王守恩

n=12,   65对解。——{0, 1, 2646002646, 7359343993, 8975672343, 19481019481, 65098401732, 71428071429, 74074074075, 74761738129,
81433418067, 81933418567, 90909090910, 93555093555, 98268434902, 104247104248, 148835812203, 156007492641, 159341159341, 164983164984,
165670829038, 168316831684, 172342508976, 175676175676, 178321178322, 195156195157, 230769230770, 233415233415, 238128574762, 239744903112,
242390905758, 249750249750, 250250250250, 259225922593, 266585266585, 269230269231, 272563935931, 304843304844, 312202648836, 321678321679,
324324324324, 329037665671, 331683668317, 333299996667, 335016335017, 340659340659, 346638010005, 363473026840, 395752395753, 399086062453,
403111739745, 405757742391, 406445406445, 409090409091, 422592759226, 425925425926, 428571428572, 435930772564, 437547100914, 473160136527,
480519480519, 489995153362, 496666833300, 497354497354, 499999500000, 500000500000, 502645502646, 503333166700, 510004846638, 519480519481,
526839863473, 562452899086, 564069227436, 571428571428, 574074574074, 577407240774, 590909590909, 593554593555, 594242257609, 596888260255,
600913937547, 604247604247, 636526973160, 653361989995, 659340659341, 664983664983, 666700003333, 668316331683, 670962334329, 675675675676,
678321678321, 687797351164, 695156695156, 727436064069, 730769730769, 733414733415, 740774077407, 749749749750, 750249750250, 757609094242,
760255096888, 761871425238, 766584766585, 769230769230, 804843804843, 821678821678, 824323824324, 827657491024, 831683168316, 834329170962,
835016835016, 840658840659, 843992507359, 851164187797, 895752895752, 901731565098, 906444906445, 909090909090, 918066581433, 918566581933,
925238261871, 925925925925, 928571928571, 934901598268, 980518980519, 991024327657, 992640656007, 997353997354, 999999999999, 1000000000000}

解数对是这串数——{2, 3, 3, 5, 5, 17, 5, 17, 5, 17, 5, 65, 9, 17, 33, 65, 5, 129, 3, 129, 65, 65, 3, 513, 33, 65, 17, 257, 33, 4097}——其中a(12)=a(16)=a(21)=a(22)=a(26)=65。

刘付来

雷劈数A006886虽然给出前51514项，但它漏掉了底数为\(10^n\)的这类雷劈数。最小的雷劈数也应该是0.

\(10^ka+b=\left( a+b\right)^2=c^2{,}b=c-a{,}\therefore\frac{a}{c}=\frac{c-1}{10^k-1}\),利用此式求雷劈数的确很历害。但它还有另一种解法。将\(a=c-b\)代入\(10^ka+b=c^2，\therefore10^k\left( c-b\right)+b=c^2，c^2-10^kc+10^kb-b=0，c=\frac{10^k\pm\sqrt{10^{2k}-4\left( 10^k-1\right)b}}{2}\)
\(\therefore c=\frac{10^k}{2}\pm\sqrt{\left( \frac{10^k}{2}\right)^2-\left( 10^k-1\right)b}，Q=c^2=\left[ \frac{10^k}{2}\pm\sqrt{\left( \frac{10^k}{2}\right)^2-\left( 10^k-1\right)b}\right]^2\)，这与我用配方法推导出来的求雷劈数的公式一摸一样。可见二者的不同解法实属一个题目的两种解法，各有千秋。

王守恩

雷劈数 = 10^n*a+b=(a+b)^2 = c^2。我们约定b的高位数字不能是0——本来——所有数的高位就不能是0的。

如果你感兴趣, 这是一道不错的题。——目前为止, 还没有这样的文章。试试？——也就是在你的所有解里要去掉一些。