Stolz 公式的妙用一例

luyuanhong

Stolz 公式的妙用一例

原创  北航小食  北航数分开车小分队  2025 年 10 月 22 日 12:00  山东



国外很多教材会把这种求和后的和函数叫做闭形式（closed-form）， 就是指一个表达式能够通过有限次数的基本数学运算和已知常数进行明确表示。



补充



北航数分开车小分队

王守恩

\(\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2= \frac{n(n+1)(2n+ 1)}{n}\ \ \ 应该是\ \ \ \sum_{k=1}^n k^2= \frac{n(n+1)(2n + 1)}{6}\)

把估算公式写完整。

\(\displaystyle\sum_{k=1}^n k^a= \frac{n^{a+1}}{1+a}+\frac{n^{a}}{2}+\frac{n^{a-1}}{12/a}-\frac{n^{a-3}}{6!/(a(a-1)(a-2))}+\frac{n^{a-5}}{6*7!/(a(a-1)(a-2)(a-3)(a-4))}-\frac{n^{a-7}}{132*9!/(a(a-1)(a-2)(a-3)(a-4)(a-5)(a-6))}+\cdots\cdots\)

譬如：

算式(1)——Table[(Sum[k^a, {k, n}]/(n^(a + 1)/(1 + a) + n^a/2 + n^(a - 1)/(12/a))), {a, 9, 9}, {n, 999999, 999999}]

{{666664666667000002666666999997999999000000000000/666664666667000002666671666646000023666654666669}}

算式(2)——Table[(Sum[k^a, {k, n}]/(n^(a + 1)/(1 + a) + n^a/2 + n^(a - 1)/(12/a) - n^(a - 3)/(6!/(a (a - 1) (a - 2))))), {a, 9, 9}, {n, 999999, 999999}]

{{666664666667000002666666999997999999000000000000/666664666667000002666666999997999995666673333331}}

算式(3)——Table[(Sum[k^a, {k, n}]/(n^(a + 1)/(1 + a) + n^a/2 + n^(a - 1)/(12/a) - n^(a - 3)/(6!/(a (a - 1) (a - 2))) + n^(a - 5)/(6*7!/(a (a - 1) (a - 2) (a - 3) (a - 4))))), {a, 9, 9}, {n, 999999, 999999}]

{{666664666667000002666666999997999999000000000000/666664666667000002666666999997999999000000000001}}

luyuanhong

谢谢楼上指出，第 1 楼帖子原文中，公式的分母确实有错，现已改正。