已知 A(1,-1,2),B(1,1,0),C(1,0,4)，P 是 x+y+z=0 上动点，求 AP^2+BP^2+CP^2 最小值

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luyuanhong

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波斯猫猫

题：已知 A(1,-1,2),B(1,1,0),C(1,0,4)，P 是 x+y+z=0
上动点，求 AP^2+BP^2+CP^2 最小值.

亦配方: 设P(a，b，c)，则

AP^2+BP^2+CP^2=(a-1)^2+(b+1)^2+(c-2)^2

+(a-1)^2+(b-1)^2+c^2+(a-1)^2+b^2+(c-4)^2

=3a^2-6a+3b^2+3c^2-12c+25

=3a^2-6a+3b^2+3c^2-12c+25+6(a+b+c)

=3a^2+3(b+1)^2+3(c-1)^2+19≥19.

luyuanhong

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波斯猫猫

变量不在多少，妙用6个0是关键。
数学这东东，有时实在不好说，
看到了就看到了，想到了就想到
了，这些如幽灵般的灵动，常常
会一闪而过，且过时作废，谁也
说不清道不明，这是为什么？

波斯猫猫

题：已知 A(1,-1,2),B(1,1,0),C(1,0,4)，P 是 x+y+z=0
上动点，求 AP^2+BP^2+CP^2 最小值.

亦配方: 设P(a，b，c)，则a+b+c=0，且

AP^2+BP^2+CP^2=(a-1)^2+(b+1)^2+(c-2)^2

+(a-1)^2+(b-1)^2+c^2+(a-1)^2+b^2+(c-4)^2

=3a^2-6a+3b^2+3c^2-12c+25

=3a^2-6a+3b^2+3c^2-12c+25+λ(a+b+c)

=3[a+(λ-6)/6]^2+3(b+λ/6)^2+3[(c+(λ-12)/6]^2+25

-[(λ-6)^2+λ^2+(λ-12)^2]/12.

∴ 当且仅当a+(λ-6)/6=b+λ/6=c+(λ-12)/6=0，即λ=6时，

AP^2+BP^2+CP^2≥25-[(λ-6)^2+λ^2+(λ-12)^2]/12=19.

注：这样才是完整的过程.