唐云清与无界分母：一个猜想的终结

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唐云清与无界分母：一个猜想的终结

原创  南方 Er  南方 Er  2025 年 11 月 9 日 10:46  广东

2025 年 2 月，数学四大顶刊之一《JAMS》上线了一篇 112 页的论文，标题简洁而有力：“无界分母猜想”。这篇论文的出现，在数论界引起了巨大波澜。



2025 年末，美国数学学会 AMS 宣布，华人女数学家唐云清与她的合作者凭借此项工作，共同荣获 2026 年弗兰克·纳尔逊·科尔数论奖。科尔奖被视为数论领域的最高荣誉之一，每三年颁发一次，历史上获奖者包括 Tate 、Langlands 、Wiles 等数学巨匠。唐云清成为继张益唐（2014 年获奖）之后第二位获此殊荣的华人数学家，更是首位获此奖项的华人女性。



尤为引人注目的是，他们的论文在正式发表的同年便“火速”获奖，这在科尔奖的历史上极为罕见，充分体现了学界对该项突破性成果的极高评价与迫切认可。

除了本次获奖，她还曾获新世界数学奖博士论文金奖、斯隆研究奖、SASTRA 拉马努金奖（首位华人女得主）和 2024 年美国女性数学会-微软研究奖等荣誉。

与此同时，唐云清还受邀在 2026 年国际数学家大会的数论分会场发表演讲，与王虹、邓煜等杰出华人数学家一同，被视为冲击菲尔兹奖等更高荣誉的希望之星。

01 天才的轨迹

唐云清的数学天赋在中学时期就已璀璨夺目。她就读于上海中学期间，不仅获得了女子奥赛满分金牌，更在中国数学奥林匹克竞赛中斩获金牌并入选国家集训队。老师评价她解题时总透着一股“云淡风轻”的从容，同学间她也得了“淡定姐”的绰号——这份沉稳，日后成为她攻克艰深数学猜想的独特气质。



2007 年，她凭借卓越的数学成绩保送北京大学数学科学学院。在北大求学期间，她在首届丘成桐大学生数学竞赛中一战成名，一举囊括三项大奖：丘成桐奖（个人全能金奖）、陈省身奖（几何拓扑金奖）和周炜良奖（代数数论银奖）。她的导师田青春曾惊叹：“她总能把抽象代数转化为几何直觉，这种跨界思维极为罕见。”

2011 年从北大毕业后，唐云清前往哈佛大学攻读博士学位，师从著名数学家 Mark Kisin 。2016 年，她获得哈佛大学博士学位，其博士论文完成了对 Grothendieck-Katz p-curvature 猜想的证明。

2016 年博士毕业后，她先后在美国高等研究院（IAS）和普林斯顿大学（讲师）进行博士后研究；2020 年又前往法国国家科学研究中心（CNRS）/巴黎萨克雷大学担任初级研究员；2021 年回到普林斯顿大学担任助理教授；2022 年7月加入加州大学伯克利分校至今，目前为该校副教授，她同时也是加州理工学院的教授。

02 探索数论奥秘：在数字与几何之间架设桥梁

唐云清深耕的算术几何，堪称现代数学中最深邃壮美的领域之一。这个学科秉持一个革命性的理念：将看似离散、孤立的数字，还原为具有形状与结构的几何对象。想象一下，每一个质数、每一个方程，都不再是冰冷的符号，而是一个个充满对称与美感的几何空间——这正是唐云清工作的起点。

在她的研究中，最核心的概念是模形式。你可以将其理解为数学宇宙中的交响乐。它们不是随意的函数，而是拥有极度精密对称性的函数，如同音乐中遵循严格对位法则的赋格曲。

那么，这些交响乐在哪里演奏呢？答案就是模曲线。模曲线可以被视作承载这些交响乐的专属音乐厅。每一个不同的对称群，都对应着一个不同形状的音乐厅，而模形式的性质则与它所处的音乐厅的几何特性紧密相连。

一个世纪以前，印度数学奇才拉马努金凭借其惊人的直觉，发现了一个特殊模形式—— τ 函数——的一系列神秘方程。他像是预见了交响乐中某些隐藏的旋律，却未能解释它们为何存在。这些拉马努金的模方程，成为了后世数学家解码模形式奥秘的重要线索。


拉马努金

唐云清团队的卓越之处，在于将模形式（交响乐）、模曲线（音乐厅）和拉马努金的发现（神秘旋律）这三个关键要素，前所未有地深度融合。她研究的志村簇，可以理解为更高维度的音乐厅。如果说模曲线是一维的弦，那么志村簇就是复杂的交响乐团，能演奏出更丰富、更深邃的数学音乐。

唐云清团队的工作被同行描述为“复杂技术的非凡组合”。她就像一位技艺登峰造极的织工，游刃有余地穿梭于不同的数学王国：

● 从数论中，她获取关于质数与整数的深刻规律；

● 从几何中，她借用描绘空间形状与结构的语言；

● 从分析中，她动用研究函数与无穷变化的精密工具。

她将这些看似迥异的丝线精巧地编织在一起，创造出前所未有的数学图景。她不仅仅是在解决问题，更是在创造新的数学语言和工具，从而让我们能更深刻地理解数字与空间之间那隐秘而永恒的联系。

03 征服无界分母猜想：破解数学“对称性”的终极密码

唐云清与合作者证明的无界分母猜想，被同行誉为“一项优雅而毁灭性的工作”。

他们利用模形式满足的微分方程及复分析技巧，建立全纯性界以控制具有有界分母傅里叶系数的模形式空间维数；再借助群论证明，若存在反例，则将产生大量反例，从而违背上述维数估计。

要理解其重要性，我们可以从一个有趣的比喻开始。



想象一下，你有一张无限大的比萨（代表数学宇宙），而你只能用一种极其规则的方式——沿着某些特定的对称轴来切割它（这代表了模形式所遵循的对称变换）。切完后，你得到无数片比萨（即模形式的系数）。

数学家们观察到一个奇特现象：有些这样的比萨，其每一片的重量（相当于系数的分母）被限制在几个固定规格里（如只能是 100 克、150 克）——我们称之为 “有界分母” 。而另一些比萨，其切片重量则千变万化，从 1 克到 1000 克，乃至任意重量都可能出现——这便是 “无界分母”。

核心问题随之而来：我们能否仅通过观察切割规则（对称性），就预判出这张比萨切出的片，重量是否不受限制（即分母无界）？

这就是无界分母猜想要解决的根本矛盾。它探讨的是：那些最纯粹、最理想的对称函数（非同余模形式），是否必然会产生无限丰富、不受约束的碎片（无界分母的系数）？自 1968 年猜想提出以来，数学家们就知道，遵循简单对称性（同余子群）的比萨，其切片重量是受限的。但他们强烈怀疑，那些拥有更复杂、更高级对称性（非同余子群）的比萨，注定会切出重量千变万化的切片。

在唐云清之前，数学家们试图用更锋利的刀（数论工具）来研究这片比萨，但进展缓慢。唐云清团队的革命性在于，他们没有继续在“切比萨”的层面上纠缠，而是直接给整个比萨-切割系统做了一次高维的 CT 扫描。

他们引入了两台强大的扫描仪：

● 位势理论：好比测量数学宇宙的引力场和电势场，通过场的变化洞察其内部结构。

● 奈万林纳定理：复分析中的利器，用于刻画函数值分布的规律，如同通过统计星光分布来推断宇宙的形状。

其证明最精妙之处，在于首次建立了黎曼曲面单值化与模形式算术之间的桥梁。

● 黎曼曲面可视为比萨在复平面上的几何形态。

● 单值化则意味着，无论这张比萨形状多复杂，它都能被一个更简单、更标准的宇宙模型（如单位圆盘）所覆盖和描述。

唐云清等人发现，当且仅当这个标准宇宙模型是单位圆盘（而非球面）时，对应的切割规则就一定会产生重量不受限的切片（无界分母）。他们通过位势理论和奈万林纳定理，精确地检测并证明了这一点。

评委会赞誉其“像用天文望远镜观测微观粒子”，精准概括了该证明的精髓——他们用研究宏观宇宙的几何与分析工具，解决了数论中一个极其精细的微观问题，实现了工具论的革命性跨越。

这一突破的价值远超解决一个50年悬案。它发展出的 “既经典又极富新意的工具箱” ，犹如为数学界打造了一把万能钥匙：

● 它极大推动了对周期与L-函数特殊值的研究——这些是朗兰兹纲领的核心，被称为数学的大统一理论。

● 它提供了一种全新范式，展示了如何将看似不相关的数学分支（几何、分析、数论）进行混搭，以解决最棘手的问题。

正如一位同行所言：“他们不仅证明了猜想，更重要的是，他们展示了如何证明这类猜想。”唐云清团队的工作，为探索数学的深层对称性，打开了一扇全新的大门。

04 合作、传承与未来

唐云清的重要成就，往往是与国际顶尖数学家的紧密合作中取得的，特别是与 Frank Calegari 和 Vesselin Dimitrov 的长期合作。这三位数学家组成了一个高效的研究团队，他们共同发表的《无界分母猜想》论文荣获 2026 年科尔数论奖。成果在正式发表同年便“火速”获奖，在国际数学界极为罕见，印证了其研究的重要性与突破性。



然而，唐云清的学术根系，深深扎于中国数学的沃土——她正是传奇的北大数学黄金一代中绽放的又一朵奇葩。 这个群体指 2000 年前后入学北大、并在世界数学舞台取得杰出成就的一批数学家。在这个星光熠熠的名单中，唐云清与著名数学家王虹是本科同学，同为 2007 级校友。



她也是继张伟、恽之玮、刘一峰之后，第四位荣获 SASTRA 拉马努金奖的北大校友。这一连串的名字与成就，勾勒出一个强大而活跃的学术谱系。唐云清在模形式与拉马努金模方程领域的探索，与黄金一代其他成员关注的核心领域一脉相承，他们共同构成了在数论与算术几何前沿相互激荡、推进边界的中坚力量。

拉马努金奖委员会主席 Krishnaswami Alladi 对她评价道：“她是同代最深刻的数学家，贡献将影响未来数十年。”

唐云清目前是加州大学伯克利分校的副教授。她将继续在算术几何和数论领域探索，特别是在朗兰兹纲领几何化方面。



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