\(\huge\color{red}{elim必须正确解读陶哲轩的自然数理论}\)

春风晚霞

        陶哲轩认为〖自然数可趋近于无限，但不能等于无限〗！那么什么是无限，什么是趋近无限？在威尔斯特拉斯ε—N定义中称\(∞=\{n|n>N_ε\)\((=[\tfrac{1}{ε}]+1)\}\)\((N_ε∈\mathbb{N})\)，所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\ne\infty\)（即数与集合间没有相等关系)，威尔斯特拉斯把\(n\in\{n|n>N_ε\)\((=[\tfrac{1}{ε}]\)\(+1)\}\)称着n趋向无穷大，记为\(n\to\infty\)，所以的〖自然数可趋近于无限，但不能等于无限〗的实质就是\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\ne\infty\)但\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\in\infty\)！因为集合\(∞=\{n|n>N_ε，N_ε\in\)\(\mathbb{N}\}\)，所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\)\(\in\mathbb{N}\)！
        elim，陶哲轩的数学理论是自洽的。他的极限理论也与数列极限理论；数项级数极限理论；单调集列极限集极限理论；乃至皮亚诺公理在\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\)处依然成立理论；……都是完全兼容的。
        其实不仅陶哲轩有“每个自然数都是有限数”的说法，就是AI也有这样的说法。我问过AI“每个自然数都是有限数”的“限”在哪里？AI回答我说：每个自然数都小于它的后继，所以自然数a的后继(a+1)就是自然数a“限”；根据这个解释，\(\nu-1=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n-1\)也是有“限”自然数，因为\(\nu-1\)<\(\nu\),\(\nu\)就是\(\nu-1\)的“限”嘛！应该看到陶哲轩所说的“每个自然数都是有限数”的“限”也是指每个自然数的后继。否则，陶哲轩的自然数理论就将与他的自然数集是无限集理论（参见陶哲轩《陶哲轩实分析》（第三版P58页第9-13行）不自洽，并且也与其它分析数学的极限理论不兼容。也正因如此，无论是陶哲轩还是AI都从来未提出过\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)\(=Sup\mathbb{N}\)；\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)\(=Max\mathbb{N}\);\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)大于\(\{n\}\)中所有数；…这样一些似是而非的东西。

春风晚霞

elim自然数的定义是什么？自然数是由皮亚诺公理定义的还是由据Weierstrass极限定义的？