《数学女孩2》点评：证明√2不是有理数的两种方法是否都有效？

yangls728

《数学女孩2》点评：
证明√2不是有理数的两种方法是否都有效？
杨六省
yangls728@163.com
“日本数学会权威推荐 绝赞的数学科普书”（原版全系列累计销量突破27万册）——《数学女孩》系列书，以通俗易懂的文笔向读者讲述著名的重要的数学概念，实属难得，十分珍贵！但是，无暇不成玉。再美好的东西，也难免会有缺陷。
长期以来，人们普遍认为，是毕达哥拉斯学派最早发现并证明了√2不是有理数。现今，许多大学、中学的数学教科书——例如，前苏联菲赫金哥尔茨所著的《微积分教程》，美国《普林斯顿数学分析读本》，我国《人教版（2024）数学七年级下册》等——仍然普遍沿用着毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数的证明（具体细节可能不尽相同）。笔者曾经多次发布贴文，意在揭示真相：毕达哥拉斯学派只是最早发现√2不是有理数，但未能证明它。不少专家学者对笔者的观点表示支持和鼓励。例如，圣彼得堡国立大学副校长科研顾问弗拉基米尔·G·比科夫于2025-10-16回复说：“Saint Petersburg State University expresses its gratitude for the critical comments provided in the letter dated October 3, 2025 . We recommend that you format your material as a scientific article or short communication and submit it to a specialized journal on the history of mathematics.”（“圣彼得堡国立大学对2025年10月3日这封信中提出的批评意见表示感谢。我们建议您将您的材料整理成科学文章或简短通讯，并将其投稿到数学史专门期刊。）
《数学女孩2》一书对√2不是有理数给出了两种不同的证明。第一种证明与我国《人教版（2024）数学七年级下册》中的证明相同，第二种证明也常出现在我国的一些数学书中和互联网上。例如，网上有一篇题名为“分析丨令人称奇的简单证明：五种方法证明根号2是无理数”的文章，其中的一种证明方法就与《数学女孩2》的第二种证明方法相同。文章作者还写道：“这个证明曾经是我最喜欢的关于无理数的存在性的证明，它实在是太神奇了。”的确，下面的思路看来很是自然——对于2a2=b2，以a和b都是整数作为假设，通过从等式的两边推出矛盾的结论（例如，等式两边的个位数字不同，等等），以此说明“√2是有理数”的假设是不成立的。但是，可以断言，所有这些“简单证明”都是无效的（理由参见笔者对《数学女孩2》第二种证明方法的点评）。
尽管笔者过去曾发表过自己的观点，不过在这里，再论此事，权当是对以往表述的一个完整的展示。
下面是《数学女孩2》中译本第94页的证明。
解答4-1 （√2不是有理数）
使用反证法。
1.假设√2是有理数。
2.此时，存在整数a,b满足以下条件（a≠0）。
✷ a和b互质。
✷ √2=b/a
3.将两边同时平方，去分母得2a2=b2。
4.因为2a2是偶数，所以b2也是偶数。
5.因为b2是偶数，所以b也是偶数。
6.因此存在整数B，使得b=2B。
7.把b=2B代入2a2=b2，得到a2=2B2。
8.因为2B2是偶数，所以a2也是偶数。
9.因为a2是偶数，所以a也是偶数。
10.因为a和b都是偶数，所以a和b不互质。
11.这跟“a和b互质”相矛盾。
12.因此，√2不是有理数。
笔者点评：上述论证存在如下四个方面的错误：
第一个错误：误认为√2不是有理数的反论题可表成√2=b/a（a和b互质）的形式。
反驳理由如下：
理由1、由“√2不是有理数”的反论题（即√2=b/a（a和b都是整数））推不出√2=b/a（a和b互质），理由是“如果论证的前提不真，那么就不能确立其结论的真”（欧文·M·柯匹、卡尔·科恩.逻辑学导论（第11版）[M].张建军，潘天群译.北京：中国人民大学出版社，2007年：161.）。
理由2、先应用反证法证明√2=b/a（a和b互质）无真假：假设√2=b/a（a和b互质）为真，则√2=b/a（a和b都是整数）为真，与√2=b/a（a和b都是整数）为假矛盾（说明：笔者关于√2不是有理数的证明独立于其他的证明，所以，笔者在评论其他证明时有理由把“√2不是有理数”作为论据加以应用）；假设√2=b/a（a和b互质）为假，即√2=b/a（a和b非互质）为真，则√2=b/a（a和b都是整数）为真，同样与√2=b/a（a和b都是整数）为假矛盾，故√2=b/a（a和b互质）既不能为真也不能为假。原论题与反论题应该是一真一假的矛盾关系。既然√2=b/a（a和b互质）无真假，所以，它不是“√2不是有理数”的反论题，也就是说，不能用√2=b/a（a和b互质）代替√2=b/a（a和b都是整数），所以，《数学女孩2》认为√2=b/a（a和b都是整数）可表成√2=b/a（a和b互质）是错误的。
理由3、如果《数学女孩2》认为，√2不是有理数的反论题（即√2=b/a（a和b都是整数））可表成√2=b/a（a和b互质），理由是任何分数都可以化为最简分数，那么，以同样的理由，√2=b/a（a和b都是整数）也可表成√2=b/a（a和b非互质），因为任何分数都可以化为非最简分数。然而，人们为什么偏要选择前者而不是后者呢？事实上，此问题没有答案，因为√2=b/a（a和b非互质）和√2=b/a（a和b互质）同样无真假、无意义。
理由4、表达式√2=b/a（a和b都是整数）涉及的是有理数与无理数之间的矛盾，也即“√2=b/a”中的a和b能否都是整数，而表达式√2=b/a（a和b互质）涉及的是有理数系统内部的矛盾，即“√2=b/a”中的a和b能否互质。因此，把√2不是有理数的反论题表成√2=b/a（a和b互质），就是人为的把有理数与无理数之间的矛盾变成了有理数系统内部的矛盾，这就如同想用国内法来裁定移民资格一样的不合理。总之，把√2不是有理数的反论题写成√2=b/a（a和b互质）是个根本性、方向性的错误。
第二个错误：误认为由“b2是偶数”可以推出“b是偶数”。
反驳理由如下：
理由1、可以断定，《数学女孩2》在推理中首先应用了a是整数这个假设，否则，例如，当a=1/2时，“b2=2a2=1/2”就不是偶数。“5. 因为b2是偶数，所以b也是偶数”是后来出现的。如果“5. 因为b2是偶数，所以b也是偶数”是合理的，再考虑到此前a是整数的假设，这就是说，对于√2=b/a，假设a是整数，则b是偶数。由于偶数也是整数，从而说明√2可表成分数，但这与我们已知“√2不是有理数”相矛盾，故“5. 因为b2是偶数，所以b也是偶数”是不成立的。
理由2、不难知道，《数学女孩2》是在“b是整数”的前提下，由“b2是偶数”推出了“b也是偶数”。但是，根据人们知道的“√2不是有理数”，考虑到此前在推理中已经应用了a是整数这一假设，所以，b不可能也是整数。因此，在“b是整数”这一虚假前提下推出的“b是偶数”之结论是不能够被认可的。
理由3、上面的两条解释均是假设了我们已知“√2不是有理数”，不借助于这种已知结论的直接证明，可参见下文笔者关于“√2不是有理数”的证明。
第三个错误：反论题没有参与矛盾的推出。
关于间接证明，帕特里克·赫尔利（Patrick Hurley）说：“使用这个假设（笔者注：指反论题）得到一个矛盾，然后得出结论说最初的假设是错误的。”（[美]帕特里克·赫尔利.简明逻辑学导论（第10版）[M].陈波等译.北京：世界图书出版公司北京公司.2010：310.）《百度百科》中的“反证法”词条说：“在应用反证法证题时，一定要用到‘反设’，否则就不是反证法。”很明显，《数学女孩2》是把√2=b/a（a和b互质）当作√2不是有理数的反论题。但是，√2=b/a（a和b互质）中的“a和b互质”并没有参与与“假设a和b互质”相矛盾的“a和b都是偶数”的推理，证据是：如果√2=b/a（a和b互质）中的“a和b互质”在推理中被应用，那么，前面推出了b是偶数（姑且不论这种推理是否有效），后面就不可能再推出a也是偶数。应用反证法，矛盾的推出没有用到反论题，这是论证形式的错误（与反论题的设定是否正确无关），是证明中的一个硬伤，它同样表明证明是无效的。
第四个错误：误认为“a和b都是偶数”与“假设a和b互质”相矛盾就可以推出√2不是有理数。
事实上，“a和b都是偶数”（姑且不论这种推理是否有效）只与“假设a和b互质”矛盾，但并不与“假设a和b都是整数”矛盾。因此，“a和b都是偶数”与“假设a和b互质”矛盾只能否定√2=b/a（a和b互质），但不能否定“√2不是有理数”的反论题——√2=b/a（a和b都是整数），也就是说，“a和b都是偶数”与“假设a和b互质”矛盾并不能说明√2不是有理数。相反，如果《数学女孩2》真能推出“a和b都是偶数”，这将意味着√2是有理数，但这是不可接受的。因此，不难得出结论：《数学女孩2》关于“a和b都是偶数”的推理是无效的（理由参见上文“第二个错误”中对“5.因为b2是偶数，所以b也是偶数”的否定）。
上述四个错误中的任何一个都可以说明《数学女孩2》关于√2不是有理数的证明是无效的，因为其中的任何一个错误都表明其论证逻辑链条是断裂的。
下面是笔者关于“√2不是有理数”的证明
命题：如果x2=2，那么x不能表成两个整数之比 。
证明：假设存在整数p和q满足（p/q）2=2。不妨先固定q是整数，于是有p2=2q2（q是整数）：
p不能是奇数，因为奇数的平方不是偶数。
p不能是偶数，如若不然：设p=2r（r是整数）,代入p2=2q2,得q2=2r2（r是整数），同理，q是偶数；同理，r是偶数；等等。这样，p将含有无限多个因数2，这与算术基本定理（每个大于1的正整数均可分解成有限个素数之积）相矛盾。
所以，p不是整数。
综上，对于（p/q）2=2，如果q是整数，则p不是整数，这说明原命题为真。      ■
注：给初中学生讲授√2不是有理数的证明，可以不提算术基本定理这个专业术语及其内容，具体作法是，教师在板书——“这样，p将含有无限多个因数2，与p是偶数的假设矛盾。”——这句话时，只需向学生解释“任何偶数不可能含有无限多个因数2”，相信学生是容易理解和接受的。具体表述如下：
命题：如果x2=2，那么x不能表成两个整数之比 。
证明：假设存在整数p和q满足（p/q）2=2。不妨先固定q是整数，于是有p2=2q2（q是整数）：
p不能是奇数，因为奇数的平方不是偶数。
p不能是偶数，如若不然：设p=2r（r是整数）,代入p2=2q2,得q2=2r2（r是整数），同理，q是偶数；同理，r是偶数；等等。这样，p将含有无限多个因数2，与p是偶数的假设矛盾。
所以，p不是整数。
综上，对于（p/q）2=2，如果q是整数，则p不是整数，这说明原命题为真。      ■
说明：
①论证中出现有p=2r和r是偶数。令r=2r1，代入p=2r，得p=22r1；同理可得p=23r2；……故p含有无限多个因数2。
②也可以先固定p是整数来证明命题，只是比较麻烦一些，其证明此处从略。
下面内容出现在《数学女孩2》中译本第100页。
解答4-1a （√2不是有理数的另一种证明方法）
使用反证法。
1.假设√2是有理数。
2.存在整数a,b使得√2=b/a（a≠0）。
3.将两边同时平方，去分母得到2a2=b2。
4.左边含有奇数个质因数2。
5.右边含有偶数个质因数2。
6.这就推导出了矛盾。
7.因此，√2不是有理数。
笔者点评：“5.右边含有偶数个质因数2”这一论断是错误的，理由是：“4.左边含有奇数个质因数2”这一论断的推出，其前提是假设a是整数。根据已知的“√2不是有理数”，2a2=b2中的b不可能也是整数。所以，在“b是整数”这一虚假前提下推出的“右边含有偶数个质因数2”之结论是不能被认可的。于是，整个的论证是无效的。
如果坚持2a2=b2的两边所含因数2的个数不同这条思路，那么，反倒会使证明过程变得十分繁复。下面是依据这种思路的严格证明：
对于2a2=b2，先固定a是整数，不妨设a=2ma1（m是大于或等于0的整数，a1是整数），并代入2a2=b2，于是有22m+1a12=b2。
假设b是整数：
要使22m+1a12=b2成立，b含因数2的个数不得少于“m+1”个，不妨设b=2m+1b1（b1是整数），并代入22m+1a12=b2，于是有22m+1a12=22m+2b12，即a12=2b12。此时，b=2m+1b1（m是大于或等于0的整数，b1是整数）。
对于a12=2b12，同上理，设b1=2nb2（n是大于或等于0的整数，b2是整数），并代入a12=2b12，于是有a12=22n+1b22。要使a12=22n+1b22成立，a1含因数2的个数不得少于“n+1”个，不妨设a1=2n+1a2（a2是整数），并代入a12=22n+1b22，于是有22n+2a22=22n+1b22，即2a22=b22。此时，b=2m+1b1=2m+1（2nb2）=2m+n+1b2（m、n是大于或等于0的整数，b2是整数）。
对于2a22=b22，同上理，不妨设a2=2ka3（k是大于或等于0的整数，a3是整数），并代入2a22=b22，于是有22k+1a32=b22。要使22k+1a32=b22成立，b2含因数2的个数不得少于“k+1”个，不妨设b2=2k+1b3（b3是整数），并代入22k+1a32=b22，于是有22k+1a32=22k+2b32，即a32=2b32。此时，b=2m+n+1b2=2m+n+1（2k+1b3）=2m+n+k+2b3（m、n和k均是大于或等于0的整数，b3是整数）。
……
不难看出，实际情况并非《数学女孩2》的推理结论所言——永远是“左边含有奇数个质因数2”，而是“左边含有奇数个质因数2”、“左边含有偶数个质因数2”、“左边含有奇数个质因数2”、……，两种模式永无止境的交替出现（右边的情形也是如此）。同时我们看到，随着交替过程的永无止境的出现，b将含有无穷多个因数2，这与假设b是整数相矛盾，说明b是整数的假设不成立。因此，对于2a2=b2，如果a是整数，则b不是整数。
反思。人们（包括《数学女孩》）一味的相信应用反证法只要能够推出矛盾，就说明原论题为真，而忽视了每一步推理（当然也包括对反论题的推出）务必都是有效推理（指前提蕴涵着结论的推理）这一要求。
（遗憾的是，无法知道《数学女孩》作者结城浩或日本数学会的邮箱地址，因为直接交流会更好）