一道经典的数论思维题

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一道经典的数论思维题

原创  吴小鱼 1024  原本 1024  2025 年 11 月 2 日 14:06  上海

前言：这是欧拉代数学基础课后的一道习题。

题目：将数 2、3、5、7、11、13、17 分为两组，每组的数相乘，使得乘积之差为 1 。

分析：这道题不要盲目去凑，这样既耗时间，也无法形成清晰的思维去解答；尝试逆向去思考这个问题；可以先求解出这两组数的乘积分别为多少，然后再对这些乘积进行质因数分解即可。因为所给的数全部都是质数，反向去把这个问题给解决。

参考思路：

解：假设这两组数的乘积分别为 a, b ，并且 a+1=b 。

并且 ab 的乘积应该就是这些质数的乘积：510510 。

考虑到 a、b 是相邻的数，其乘积应该是非常接近一个平方数。

首先缩小范围：很明显 510510 距离最近的「整百」数是 700 × 700 = 490,000 。

a、b 两个数的十位数也是一样的，这里立刻算出 710 × 710 、720 × 720 。

这两个平方数分别为：504100 、518400 。

因此  710 < a < b < 720 。

考虑到 510510 的个位数为 0 ，那么 a,b 的个位数要么是 4、5 或者 5、6 相乘才能保证 ab 的乘积个位数是 0 。

经过计算：714 × 715 =510,510 。

只要对 a=714 , b=715 进行质因数分解即可，a 是偶数，b 的尾数是 5 ，又可以缩小质因数分解的范围。

714  = 2 × 357 = 2 × 3 × 119 = 2 × 3 × 7 × 17 。

715  = 5 × 11 × 13 。

因此：这组数可分为两组，分别为 2、3、7、17 和 5、11、13 。

结尾：这种估算的方法在欧拉《代数学基础》中是非常朴素实用的方法，无论是在讲解分数的概念、平方根的无理性、制作对数表，就是通过这种“夹逼法”的思路，先把要求的解限定在很小的范围，通过简单试算的方法就可逼近真值。另外记住九九乘法表、常用的平方数（100 以内）、100 以内的质数，还是很有必要的，数学要背诵的内容其实很少，有时间花点功夫在这些基础上面，可以大幅提高计算速度和准确率。

原本 1024