\(\Huge\color{red}{再論只要極限存在，就一定可達}\)

春风晚霞

再論只要極限存在，就一定可達

        什麼是極限可達？我們稱函數和自變量同時到達極限的情形叫極限可達(參見徐利治《論無限》P22頁第1行)。为讨论极限的可达性，极限表达式可用颜色把它分成三个重要的组成部分：\(\displaystyle\lim_{\color{red}{n→∞}}\)\(\color{Magenta}{a_n=a}\)，其中lim是英语单词limit的缩写，词意为：[n].限制;(地区或地方的)境界，界限，范围;极限;限额;限度;限量;[vt.]. 限制;限定;限量;减量;
【例句】:He was driving at well over the speed limit.
他当时开车的速度远远超过了限制。
[词组]. lower limit；下限；upper limit；
上限：legal limit；法定限度.【数】；根限值。
(参阅《新英汉词典增补本》上海译文出版社P739页、《牛津高阶英汉双解词典》牛津大学出版社P1174页)。
\(\qquad \color{red}{n→∞}\) 表示变量n趋向于无穷；\(\color{Magenta}{a_n=a}\)表示在变量n趋向于无穷时所取得的极限值.
        于是我们可得极限可达的符号表达式:
\(\qquad\displaystyle\lim_{\color{red}{n→∞}}\color{Magenta}{a_n=a}\Longleftrightarrow\color{Magenta}{a_n=a}(\color{red}{n→∞})\)\(\qquad\)(*)
       现在我们证明(*)式成立：
       (1)、【证明】（充分性）
       因为\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n=a\)，所以对任意给定的、无论怎样小的正数ε，当n∈\(\{n｜n>N_ε，n∈N\}\)有\(|a_n-a|<\varepsilon\)，由\(\varepsilon\)的任意性有\(a_n=a\).即\(\color{red}{当n→∞时a_n=a}\).【充分性证毕】
     （2）、【证明】（必要性）反证法  假设\(\color{red}{当n→∞时a_n≠a}\)，即n∈\(\{n｜n>N_ε，n∈\)\(N\}\)时\(a_n≠a\)，则必有｜\(a_n-a\)｜=α>0，取\(ε=\frac{α}{2}\)，则｜\(a_n-a\)｜=α>\(\frac{α}{2}\)=ε，这与\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n=a\)矛盾(即没有\(当n→∞时a_n=a\)这个条件，一定没有\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n=a\)这个结论，亦即无之则必不然)。所以假设不成立。【必要性证畢】
        综合(1)、(2)知(*)式成立

春风晚霞

春氏可达与徐氏可达的异同

        1、春氏可达与徐氏可达的论点一致
        徐氏在《关于极限可达到情形的讨论》开篇所说：函数与自变量同时以实无限方式到达极限的问题，是一个不可忽视的问题。徐氏的这句话亮出了他研究可实现问题的靶子。即徐氏可达是围绕着〖函数与自变量同时以实无限方式到达极限〗展开讨论的。这与春氏可达的定义:〖什么是极限可达呢？我们称函数与自变量同时以实无限的方式到达极限为极限可达〗是一致的。如对于函数\(a_n=\tfrac{1}{n}\)，因为\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{n}=0\)。按徐氏的观点当然可以解读成〖函数\(a_n\)与自变量n同时以实无穷方式到达函数极限0和自变量极限\(\infty\)〗，亦即\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{n}=0\)\(\iff \)\( (n→∞\)时\(\tfrac{1}{n}=0)\)。因此，春氏可达与徐氏可达的论点是一致的。
        2、春氏论证方法与徐氏论证方法殊途同归
        关于〖只要极限存在就一定可达〗，徐氏是以连续函数为基础研究的。他的“可实现”条件正是函数连续的充分必要条件。不过函数连续的充要条件比极限存在的条件强得多。徐氏把左右极限存在且等于定数，但不等于该点的函数值，即存在可去间断点的函数认为是“可连续化函数”(参见徐氏《论无限》P20页第11至第17行)。由于函数在某点存在极限存的点只有连续点和可去间断点两种情形。连续点固然满足“可实现”条件！可去间断点在经“可连续化”后，仍然满足“可实现”条件。所以，春氏与徐氏论证〖只要极限存在就一定可达〗的方法殊途同归。