数学符号体系的建立（二）

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数学符号体系的建立（二）

原创  作者  数学文化与数学教育  2025 年 12 月 10 日 17:09  山东

二、代数符号的应用

1. 等号“=”

方程是早期数学的重要内容。开始，人们多用文字表示两个量相等，后来数学家们也用“等于”的缩写词或第一个字母作为相等的符号。15 世纪，出现了不用文字和缩写表示的相等记号。如阿拉伯人盖拉萨迪用“∫”表示相等，德国人缪勒、意大利修道士帕乔利把破折号“——”作为等号。

1557 年，英国数学教授雷克德（公元 1510～1558 年）在其论文中不仅系统地使用了“+”“-”号，还首次使用“=”表示相等。他认为两条等长的平行线段表示相等再恰当不过。但这个记号并没有被立即应用。16 世纪的韦达先是用文字后来用“∽”表示相等。1631年，创用“×”号的英国数学家奥特雷德用两个比号“∷”表示两个比值相等。还有数学家把“∝”“Ⅱ”等稀奇古怪的符号作为等号。但最终历史选择了象征“平等”的“=”号。

和运算符号一样，李善兰首次把“=”号引入中国，终结了我国不用等号或者用“得”表示相等的历史。

2. 大于号“>”和小于号“<”

人们一直习惯性地使用文字或缩写表示大于、小于，后来出现了一些象征性的符号，因过于复杂，使用者寥寥。1631年，人们出版了英国数学家哈里奥特的遗著，首次使用“ · ”“ - ”表示乘法、减法运算，首次用“>”和“<”表示两个量的大小关系。这对个性张扬、形象相反、简洁对称的“>”“<”号虽一经出现便惊艳四方，但直到一个世纪后才得以广泛应用。

据说（没有确实的材料证明），1734 年德国业余数学家哥德巴赫在给欧拉的信中提到，巴黎科学院院士布格尔（1698～1758 年）使用“≥（≧）”“≤（≦）”号表示“大于等于”和“小于等于”。1901 年，法国数学家庞加莱（1854～1912 年）和波莱尔（1871～1956 年）首次引入了高等数学中表示“远大于”和“远小于”的符号“>>”“<<”。

3. 括号“（ ）”“〔  〕”“｛  ｝”

现在通用的表示运算顺序的括号出现在文艺复兴后的欧洲。有资料说，德国人斯蒂菲尔（1487～1567年）最早在手稿中使用圆括号“（  ）”，德国数学家克拉维斯（1537～1612 年）1608 年首次在出版物中使用“（  ）”。虽然还有数学家使用了其他符号，但无论形象还是寓义都略逊一筹，没有被人们认可。

1593 年，法国数学家韦达（1575～1660年）最先引入了中括号和大括号“〔  〕”“｛  ｝”，他还曾使用括线符号“——”（把横线写到要结合的项上面）表示运算顺序。现在，人们还用小括号表示点的坐标，中括号表示闭区间，大括号表示集合。

4. 负号“-”

我国是世界各国中最先认识、应用负数的国家。我国古代用不同颜色或者不同摆法的筹表示正负数。南宋数学家李冶（1192～1279 年）将数斜画一杠，表示为负，杨辉则在负数后面写上“负”字，还有的算术书中用不足、卖、出、付等表示负数。和其他运算符号一样，尽管我国在负数应用与研究方面走在世界前列，但与“-”号的创用无缘。

公元 7 世纪，印度出现了负数概念和记法。数学家婆罗摩笈多（598～665 年以后）在其著作中阐述了负数的运算法则，在数字上面点点或画圆圈表示负数。

西方数学家长期不承认负数的存在，不认为方程有负根，也很少考虑负号。英国数学家哈里奥特（1560～1621 年）曾把负数单独放在方程的一边，并用“-”标识，那时他还不承认负数的存在。1629 年，荷兰数学家吉拉尔（1595～1632 年）解得方程的负根，承认了负数，并第一个提出用减号“-”表示负数，沿用至今。后来，数学家们又使用了许多其他表示负数的符号，都消失在历史云烟之中。

5. 根、函数、对数、虚数及其表示符号

根、根号以及函数、对数、虚数的由来及符号表示已在本公众号《“根”及根号的来源》《数学中的“数”》中阐明，此不赘述。

6.  其他符号

集合符号。集合理论产生于 19 世纪末。1874 年，德国数学家康托尔（1845～1918 年）在其论文《关于一切代数实数的一个性质》中阐述了无穷集合概念及其性质，标志着集合论的诞生。随着集合论的发展，人们创设了一系列集合符号。{ x | p(x) } 或 { x : P(x) } 这种表示集合（描述法）的符号为何人、何时首创已无从考证。表示元素与集合关系的属于、不属于号 ∈、是意大利数学家、教育学家皮亚诺（1858～1932 年）在 1889 年首先使用的，他还创用了表示集合之间包含关系的符号 、。空集符号“”出现得很晚，谁首先使用，为什么用这个符号表示空集，也无从考证。德国数学家莱布尼茨曾用 ∩ 表示“乘积”、∪ 表示“和”，都未被认可，后被人们借用来表示集合的“交”、“并”运算。欧拉最早用图形表示集合的运算关系，后由英国逻辑学家文恩（1834～1923 年）改进，沿用至今，称为“文恩图”或“文氏图”。另外，表示自然数集、有理数集、实数集、复数集的字母 N、Q、R、C 分别来源于它们的英文单词的第一个字母，如 natural numbers（自然数）、quotient（商，古希腊数学家把有理数命名为两数之比）、real（实数）、complee（复数）。表示整数集的字母 Z 来源于德文 zahlen（整数）的第一个字母。

绝对值符号。1841年，德国数学家外尔斯特拉斯（1851～1897 年）首先引用符号“ |  | ”表示复数的绝对值即模，后来人们也用该符号表示向量的长度。

判别式号。一元二次方程根的“判别式”的英文单词是 Discriminant ，其第一个字母 D 在字母表的位置相当于希腊字母的第 4 个字母“Δ”（大写），人们就借用“Δ”表示了判别式。

无穷大和极限符号。无穷大概念和极限思想萌芽于古希腊和中国，印度也很早就对无穷大量有所认识。现行无穷大符号“∞”最早出现在英国数学家沃利斯（1616～1703 年）于 1656 年出版的著作中。沃利斯为什么用此符号表示无穷大量，暂无资料可循。牛顿和莱布尼茨创立的微积分理论没有给出无穷小量、极限的严格定义。19 世纪，法国数学家柯西（1789～1857 年）明确了极限概念，几十年后，德国数学家外尔斯特拉斯进一步用“ε-δ”语言定义了极限概念，完成了微积分理论的严格性。极限一词的拉丁文是“limes”，人们用其缩写“lim”表示极限。

进入 16 世纪，人们已经意识到符号对于数学表达、推理的重要作用，创用、接受符号的进程明显加快。人们在筛选数学符号的过程中，摒弃了繁复、随意，选择了简洁、美观、达义。这些个性鲜明、雅美兼备的符号和字母成为数学最显著的特征。

参考文献

1. 徐品方,张红.数学符号史[M].北京:科学出版社,2006.

2.（美）克莱因（Kline，M.).古今数学思想(第1册)[M].张理京等,译.上海:上海科学技术出版社,2014.

3.（美）卡茨（Katz,V.J.)数学史通论[M].李文林等,译.北京:高等教育出版社,2004.

（说明：本文观点较多引用了徐品方、张红两位先生的著作《数学符号史》，特此说明。）

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异面直线a和b所成的角记为，∠(a．／b)，其中“．／”表示a和b异面.

二面角α-l-β记为，∠(α-l-β) .