行列式的隐秘结构：一个足以载入线性代数教科书的几何发现

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行列式的隐秘结构：一个足以载入线性代数教科书的几何发现

原创  耿修瑞  矩阵之美  2025 年 12 月 12 日 08:54  北京

经典的线性代数教程中，行列式往往是一张令人望而生畏的面孔。对于一个的矩阵，我们要么背诵那个充满了逆序数的莱布尼茨公式，要么在那一长串的拉普拉斯展开式（Laplace Expansion）中迷失方向。在这些冰冷的代数符号背后，我们很难看到几何的影子。

最近，在思考高维几何时，我偶然发现了一种看待行列式的全新视角。与其把它看作一堆数字的加减乘除，不如把它看作是高维空间中两个互补几何体的“投影”。

这让我得出了一个也许在教科书上找不到，但几何意义极强的公式。

（1）困惑的起点：三维混合积



这个公式有着清晰的几何意义，它的大小正对应着三个向量张成的平行六面体体积（图 1 ）。


图 1 . 三维空间的混合积。三维空间中，混合积的几何意义就是平行六面体的体积

这个公式让我着迷而困惑，它居然把行列式的计算转化为两个向量的内积，那么在更高维的空间中，是否也存在类似的表达呢？

（2）两个世界的对视：我们的发现



（3）重新审视拉普拉斯展开



原来，数学家们早就把这个几何秘密写在了公式里，但往往因过分强调代数计算，而掩盖了这种“互补几何体内积”的直观图景。

结语

这个发现让我意识到，数学符号的演变有时会让我们离直觉越来越远。在三维空间，我们用这种特例掩盖了维度的真相。在 n 维空间，我们用公式（4）这种代数式掩盖了几何的真相。

而这一新视角（行列式即互补楔积的内积），不仅统一了这些看似无关的公式，更让我们看到：在高维几何的深处，对称与互补是如此基础而又强大的法则。每一个完整的整体，都可以被视为两个互补碎片在数学意义上的深情拥抱。

参考资料

耿修瑞.矩阵之美（基础篇）[M].北京：科学出版社,2023.

矩阵之美