【追忆数学大师】阿蒂亚爵士是怎么在外尔（Weyl）去世 50 年后为其写一篇回忆录的

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【追忆数学大师】阿蒂亚爵士是怎么在外尔（ Weyl）去世 50 年后为其写一篇回忆录的

在正式写作外尔在数学上做出的工作前，我们先看一篇阿蒂亚爵士写的外尔的传记。该文献位置已被其存档单位美国国家科学院的网站删除。被我从网络记忆中找了回来并翻译为中文。如同封面上阿蒂亚爵士的免责声明，仅代表个人观点，不一定反映美国国家科学院的观点。



作者：迈克尔·阿蒂亚

赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）是 20 世纪上半叶最伟大的数学家之一。他在数学的几乎所有分支都做出了奠基性贡献，同时也对理论物理怀有浓厚兴趣。

在人物去世近 50 年后撰写传记，于我而言既是挑战也是机遇。显而易见，我几乎没有与他亲身接触：仅在 1954 年阿姆斯特丹国际数学家大会上听过他一次演讲，那时我还是一名研究生。他的同代人早已离世，仅有零星回忆留存。然而，时间的流逝反而更容易看清外尔工作的长远意义——他的思想如何影响后来者，并在 20 世纪下半叶塑造了数学与物理。事实上，近 50 年来，正是他开创的那些领域迎来了蓬勃复兴。回望历史，几乎可以说他设定了后续研究的议程，并提供了恰当的框架。


赫尔曼·外尔（1885 年 11 月 9 日 – 1955 年 12 月 9 日）

因此，我将把外尔本人的工作与后续发展联系起来叙述。这意味着，对于某些我无法胜任或后续进展并不丰硕的方向，我会略去细节，特别是他关于奇异微分方程、数论与凸体的重要工作，以及对数学基础的贡献；然而，这些论文均可在文末的精选文献中找到。

外尔出生于汉堡附近的小镇埃尔姆肖恩，父母是路德维希与安娜·外尔。1904 年，他进入哥廷根大学，立即被大卫·希尔伯特的魅力征服。他后来回忆道：

“我决心研读这位先生写过的所有东西。第一学年结束时，我腋下夹着《数论报告》回家，整个暑假里把它啃完——此前我既不懂初等数论，也不懂伽罗瓦理论。那是我一生中最快乐的时光；纵使岁月压上我们共同的怀疑与失败，那段光辉仍慰藉我的灵魂。”

1913 年，他赴苏黎世联邦理工学院任教授，当时爱因斯坦正在那里发展广义相对论。不久后，这激起了外尔的兴趣，物理学遂成为他终生的核心关切之一。

1930 年希尔伯特退休，外尔回到哥廷根继任；然而 1933 年纳粹上台，他选择前往新成立的普林斯顿高等研究院，爱因斯坦亦同期到达。那里宜人的学术环境使他得以指引并影响年轻一代数学家，而这正是他极为擅长的任务。

赴苏黎世之际，他与才华横溢的西班牙文学译者海伦·约瑟芬成婚，育有两子。海伦 1948 年去世；1950 年，外尔与苏黎世的艾伦·贝尔再婚。

外尔涉猎极广，且刻意拒绝专门化。他阐释自己的态度：

“我自己的数学作品向来毫无系统，既无模式，也无关联。表达与形式对我而言几乎胜过知识本身。但我相信，撇开我个人怪癖，数学与实验学科不同，其本性更接近自由创造性的艺术。”

由这段话可见，外尔兼具哲学家与文学家的气质。他对哲学的兴趣使他投身数学基础——那是形式主义（希尔伯特领导）与直觉主义（布劳威尔领导）激烈论战的时代。直觉主义者只接受能在有限步内构造性证明的结果。外尔最终不无勉强地站在布劳威尔一边。他更广博的哲学关怀，使他对数学工作的物理意义始终保持警觉。1918 年，他在一本广为流传的著作中系统阐述了对物理的哲学思考。

外尔那种近乎诗意的文风在数学家中极为罕见，也只有他这种巨匠才能“逃过”责难。即便因迁居普林斯顿被迫从德语转写英语，也未使他搁笔。在《经典群》（1939）的引言中，他典型地写道：“诸神强加于我笔端的，是一种在我摇篮旁从未被吟唱的外语之轭。”后文论及旋转群时，他又说：“只有在旋量层面，我们才触及欧几里得本人挥舞尺规、在几何图形王国中自如移动的那个层次。旋量表示的存在，必定与欧氏几何有深刻关联。”此后关于旋量的研究，愈发彰显这段文字的洞见——尽管那是用“外语”写就。

尽管兴趣广泛，分析与几何及其在物理中的应用始终是他工作的核心；他也能以代数学家的身份写出《经典群》这样的经典，而他那种统一数学的冲动，使任何简单划分都失去意义。他对微分算子谱性质（即特征值或频率）的兴趣开发极早，并贯穿终生。其首批重大成果之一，是证明对于有界区域上的拉普拉斯算子，特征值增长的首项由体积给出：



这一结果当时被物理学家基于经典–量子对应猜中。外尔随后关注特征值的更精细渐近行为，这一主题因马克·卡克“你能听出鼓的形状吗？”而广为人知。外尔去世后，该领域突飞猛进，引出阿蒂亚–辛格指标定理的热方程证明（阿蒂亚、博特、帕托迪，1973），以及量子场论中至关重要的正则化行列式。

1950 年，外尔在美国数学会吉布斯讲座上，对特征值问题发表如下神谕般的评论：

“我觉得，关于膜的特征振动，我们目前所知仍极不完整。我对其渐近行为应达到何种完整分析，怀有一些猜想；但 35 年来我并未认真尝试证明，因此还是把它们留给后者来吧。”

无论他当年所想为何，今日物理学、分析与几何的交织发展，显然会令他欣慰。

外尔另一早期名著为《黎曼曲面》（1913）。书中他以王者之姿，为这一经典主题赋予连贯、优雅与秩序，奠定其未来发展的坚实基础。黎曼时代已显明，复变函数论无法局限于复平面，必须考虑分歧覆盖；而外尔首次以抽象曲面取代复平面，给出恰当形式。该书在 1913 年问世，恰逢其时，成为高维流形理论的范本；其强调向量空间（外尔首次给出现代定义）亦为几何与代数提供了共同语言，并为后来的拓扑学家铺平道路。

若无外尔的黎曼曲面，就难以想象 20 年后霍奇的调和形式理论（霍奇，1941）。外尔是最早认识到霍奇工作重要性的人之一，并为分析部分的关键一步作出贡献；他称霍奇理论为“本世纪科学史上一座伟大里程碑”。

1954 年阿姆斯特丹国际数学家大会上，外尔作为菲尔兹奖委员会主席，发表颁奖词，介绍两位获奖者小平邦彦与让-皮埃尔·塞尔。小平独立完成了霍奇理论，并将其精妙地应用于代数几何的具体定理；塞尔则借助新发展的层论作出贡献。尽管年纪已达 69 岁高龄，外尔仍详尽而热情地阐述了这些工作——它们以分析与几何的结合精神，正合他年轻时的心愿。他对小平说：

“你的工作与我年轻时试图做的有多重关联；但你已达我梦寐以求的高度。自 1949 年你来普林斯顿，我最大的快乐之一便是见证你的数学成长。”

转向塞尔时，他又说：

“塞尔博士，我与你的研究没有紧密的个人联系，但让我说，我从未见过数学天空中一颗明星如此璀璨地升起。数学界为你们二人的工作而自豪，它证明数学这棵老树仍汁液充盈、生机盎然。”

作为当年听众中的年轻一员，我深感震撼，并因他的演说备受激励。

如果说几何与分析是外尔兴趣的核心，他那组织与综合的冲动，注定使他要在群及其表示论上留下印记——那是对称的化身。晚年，他以一本雅俗共赏的小书《对称》（1952）专论此题。19 世纪挪威数学家索菲斯·李开创了连续群理论，后由埃利·嘉当发扬光大；外尔则以全局观点重铸这一主题。前人注重局部（即李代数），而外尔强调整个群——一个具有有趣拓扑的流形。这与他对黎曼曲面的态度一致：他偏爱“全景”。全局观点带来技术优势，尤其对紧群（如重要的旋转群），可在群上积分平均，使理论几乎与有限群一样简洁。由此产生的著名结果之一是彼得–外尔定理：将群上的函数空间分解为不可约表示给出的矩阵块。外尔一如既往地运用他对微分方程的深厚知识。

为从紧群过渡到一般的矩阵线性群，外尔使用了所谓“酉技巧”——一个简单却极富成效的想法，其影响远超纯群论范畴。在西蒙·唐纳森等人手中，它成为研究模空间的有力工具，可视为外尔最初思想的几何延伸。

外尔最优雅的定理之一，是他关于不可约表示特征的显式公式：



此公式在后续研究中反复出现：例如，作为阿蒂亚–博特关于椭圆算子不动点公式的特例，它将外尔的两大兴趣合而为一；又如在环路群表示论中，它以广义形式再现（普雷斯利–塞加尔，1986），而环路群正是当前物理关注的高维无限维群。

外尔坚信数学的整体统一，不仅跨越子学科，也跨越世代。于他，往昔精华不会被遗忘，而是被当下数学吸纳并升华。《经典群》的写作目的，便是彰显这种历史延续。他在表示理论研究中，曾因忽视 19 世纪代数学家热衷的经典不变量理论而受批评。寻找具有内在几何意义的代数公式，曾因年轻的大卫·希尔伯特证明“总存在有限个基本不变量”而陷入停顿。外尔作为希尔伯特的信徒，视此结果为传统意义上的“终结”。然而，他仍想展示经典不变量理论在现代代数光照下应如何被重新理解。《经典群》便是他的回答：旧与新在丰富的织体中交融，需反复阅读；它非线性铺陈，而似一幅多角度的油画，令学生绝望，令教授欣喜。

如今，不变量理论已从希尔伯特的“打击”中恢复，再度繁荣，且全然处于外尔框架之下。大卫·芒福德以“几何不变量理论”（芒福德、福格蒂、柯万，1994）之名，为分类问题与模（参数）空间的系统研究注入新动力，而这些模空间在量子场论中自然涌现。外尔若在世，定会欢欣鼓舞。

20 世纪 20 年代量子力学革命席卷理论物理，幸有两位杰出数学家为这一新物理提供数学骨架与诠释：约翰·冯·诺依曼将量子力学置于希尔伯特空间与自伴算子的现成框架；外尔则在 1928 年出版的《群论与量子力学》专著中，系统阐述了对称性的作用。李群的表示理论，与量子力学天造地设；外尔在表示论与谱论上的权威，使他成为新物理的理想诠释者。

冯·诺依曼比外尔年轻几岁，却是声名赫赫的神童。据阿芒德·博雷尔从 M·普朗歇雷尔听来的故事：每当外尔要在苏黎世开讲座，他走向教室时总心怀忐忑，唯恐冯·诺依曼坐在听众中——后者必会提出尖锐问题，令他无法作答！然而，这一恐惧并未阻止外尔后来邀请冯·诺依曼一同加盟普林斯顿高等研究院。正如 1954 年大会演讲所示，外尔始终乐于发现人才，鼓励后进。拉乌尔·博特回忆（博特，1988）他初次向外尔介绍自己最新成果，却被告知外尔 25 年前就已全部完成；外尔仍亲切待他。博特还指出，外尔私下并非其文字那般“奥林匹斯”形象，他可以随和、风趣而友善。

量子力学并非外尔首次涉足物理。他早已研习爱因斯坦的广义相对论——该理论以几何方式阐释引力。外尔试图将其推广，使麦克斯韦方程也获得几何意义。他的想法是：引入逐点变化的尺度（或规范），沿时空闭合路径的尺度变化将“封装”电磁力。几乎立即（在外尔论文的附录中），爱因斯坦以物理理由批评：若外尔正确，粒子的大小将依赖于其历史，而实验表明所有氢原子性质一致。常人或以为爱因斯坦如此重量级的批评会令外尔撤回论文；然而，他对自己的数学洞见与自信，使他坚持发表。这一想法太美，不应舍弃；而麦克斯韦方程竟“如魔法般”自然出现。好思想常能“改日再战”：数年后，随着量子力学诞生，外尔的计算被赋予新的物理解释。奥斯卡·克莱因提出：应将外尔的“尺度”视为相位，并假设时空具第五维——一个极小的圆。数学上，外尔的规范变量乘以虚数单位  后呈周期性，此观点即所谓卡鲁扎–克莱因理论（西奥多·卡鲁扎在爱因斯坦之后迈出第一步），如今已被广泛接受。更进一步，为纳入其余核力，我们需要更多维度，当前研究聚焦于 10 或 11 维总时空。

独立于这些额外维度，外尔的规范理论描述麦克斯韦方程的思想，被推广到圆群以外的局部对称群，产生非阿贝尔规范理论——它们正是基本粒子标准模型的基石。

这一规范理论，这位“差点被泼出浴盆的婴儿”，已茁壮成长为现代物理的框架，也是当代数学中最富新意与活力的领域之一。西蒙·唐纳森的四维流形理论（唐纳森、克朗海默，1990）即源于物理，却对几何产生深远影响。更近的进展，则以旋量与非线性耦合电磁学的另类诠释，定会令赫尔曼·外尔心驰神往，并印证他关于“旋量几何意义”的断言。

过去 25 年，规范理论，高维卡鲁扎–克莱因模型、弦论，以及当下的 M 理论，随物理学家试图将所有基本力统一而兴起。这牵涉李群、流形、微分算子等高深数学，皆属外尔的遗产。无疑，他将是这一数学与物理融合最热情的拥趸与欣赏者。没有任何数学家能比他更多地启发了今日被广泛应用的理论；他的远见，经受住了时间考验。

感谢拉乌尔·博特与阿芒德·博雷尔提供个人回忆；亦参考了谢瓦莱–韦伊与纽曼的讣告文章。

原创  译者天涯  数学舶来品  20256 年 1 月 4 日 07:20  陕西